Entfernungsformel-rechner

Der Abstand zwischen zwei Punkten in der euklidischen Ebene ist eines der Grundkonzepte der Geometrie. Allerdings handelt es sich dabei nicht um ein statisches oder universelles Konzept, da es in der Mathematik viele mögliche Maße für den "Abstand" gibt.

In der Tat können verschiedene Arten von Geometrien verschiedene Arten von Abständen verwenden. Und alle diese Geometrien, einschließlich der euklidischen Geometrie, definieren Abstände, die logisch und konsistent sind und alle Eigenschaften aufweisen, die man von einem Abstand erwartet.

Wie berechnen sie die entfernung?

Dieser Rechner basiert auf dem Abstand für die euklidische Geometrie. Angenommen, wir haben zwei Punkte \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\), dann wird der Abstand Formel wie folgt berechnet, mit der folgenden Formel:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

Dies ist im Allgemeinen die Formel für die Entfernung zwischen zwei Punkten, die am häufigsten so interpretiert wird, dass es sich um die tatsächliche physische Entfernung handelt, die wir mit unseren Sinnen wahrnehmen.

Warum berechnen wir die entfernung?

Die Entfernung ist eine der grundlegendsten geometrischen Vorstellungen, die der Mensch hat, und das Konzept der Entfernung war die Grundlage für viele Ideen in der Geometrie, die wiederum die Mathematik als Disziplin hervorgebracht hat.

Das Berechnen von Entfernungen hat mit vielen praktischen Dingen zu tun, z. B. damit, wie weit etwas entfernt ist, vor allem, wenn die Dinge nicht in unmittelbarer Nähe sind, wofür eine klare Vorstellung von der Entfernung eine entscheidende Rolle spielt.

Erläuterung der abstandsformel

Der obige Ausdruck definiert, wie die Formel für die beiden gegebenen Punkte anzuwenden ist. Die Vorgehensweise ist einfach: Die erste Komponente von Punkt 1 und die erste Komponente von Punkt 2 werden subtrahiert, und das Ergebnis wird quadriert.

Dasselbe wird für den zweiten Punkt gemacht: Die zweite Komponente von Punkt 1 und die zweite Komponente von Punkt 2 werden subtrahiert und das Ergebnis wird quadriert. Diese beiden quadrierten Werte werden addiert, und das Ergebnis wird mit der Quadratwurzel multipliziert. Die endgültige Zahl, die Sie erhalten, ist der Abstand

Wie lösen sie entfernungsprobleme?

Es gibt keine einheitliche Antwort auf diese Frage, da Entfernungsprobleme unterschiedliche Formen annehmen können. In der Regel werden Ihnen zwei Punkte vorgegeben und Sie werden gebeten die Entfernung berechnen . Das ist wahrscheinlich der einfachste Typ, den Sie bekommen können.

Aber dann können Sie so hart vorgehen, wie Sie wollen. Zum Beispiel geben Sie den Kreisen (mit den entsprechenden kreisgleichungen ), und fragen Sie, welche Punkte in den Kreisen sich in einem bestimmten festen, vorgegebenen Abstand \(D\) befinden. Ein solches Problem ist definitiv schwieriger als das vorherige.

Fragen zu Entfernungsformeln gibt es in allen Formen und Ausprägungen, und sie können so schwer sein, wie Sie es sich vorstellen können. Natürlich werden Sie in einem Grundkurs wahrscheinlich nur die Formel direkt anwenden.

Was ist ein beispiel für einen abstand?

Geometrische Entfernungen sind die deutlichsten Beispiele für Entfernungen. Wenn Sie zum Beispiel eine quadrat der Seite 2 das seine linke untere Ecke am Ursprung hat, und Sie wollen die Entfernung zu berechnen zwischen der untersten linken Ecke und der oberen rechten Ecke berechnen Sie:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

Es gibt noch andere Beispiele für Entfernungen, die ähnlich interpretiert werden wie die Entfernungen in der Physik. Diese sind in der Tat eng miteinander verbunden, aber es gibt eine Menge Feinheiten.

In welchem zusammenhang steht dies mit der mittelpunktsformel?

Das Mittelpunktsformel steht in engem Zusammenhang mit der Abstandsformel, da der Mittelpunkt ein bestimmter Punkt ist, der die besondere Eigenschaft hat, dass der Abstand von einem der Punkte zu ihm gleich der Hälfte des Gesamtabstands ist.

Beispiele

Angenommen, wir haben zwei Punkte \((1, 3)\) und \((4, 8)\), dann wird die Abstandsformel wie folgt berechnet:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Die Quadratwurzel über \(\sqrt 34\) kann nicht weiter vereinfacht werden, also lassen wir sie so stehen. Manchmal werden Sie gebeten, eine ungefähre dezimale Antwort zu geben, die in diesem Fall \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \) wäre.

Weitere beispiele

Wie kann man die Entfernungsformel mit Brüchen handhaben? Es ist alles die gleiche Mechanik. Angenommen, wir haben zwei Punkte \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) und \((\frac{3}{5}, \frac{3}{4})\), dann wird die Abstandsformel wie folgt berechnet:

\[ D = \displaystyle \sqrt{ \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{50}} \approx 5.8310 \]

Muss die entfernung in zwei dimensionen angegeben werden?

Nicht unbedingt. Tatsächlich können wir zwei Punkte in einem n-dimensionalen Raum haben: \(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) und \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\). Der Abstand wird nun berechnet, indem man die Differenzen aller Komponenten quadriert, sie addiert und die Quadratwurzel zieht:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

Hat die entfernung etwas mit pythagoras zu tun?

Und ob sie das tut! Wie Ihre Intuition Ihnen zu Recht sagt, ähnelt die Quadratwurzel der Summe der Quadrate sehr der des Satur des Pythagoras und auch, was Sie tun, wenn Sie Dreickke Lösen .

Das liegt daran, dass wir den Abstand zwischen zwei Punkten in der pythagoreischen Geometrie als die Größe der Hypotenuse eines Dreiecks definieren, dessen Eckpunkte durch die angegebenen Punkte definiert sind.

Alternativ können Sie auch diese beiden Punkte nehmen und die mittelpunkt .