Mais sobre a equação de forma padrão de um círculo

Esta calculadora permitirá calcular a forma padrão da equação do círculo, mostrando todos os passos. Você precisa fornecer uma expressão válida para o raio e as coordenadas do centro. Eles podem ser qualquer expressão válida, com a única restrição de que o raio deve ser positivo.

Uma vez que os dados válidos são fornecidos, você precisa clicar no botão "Calcular", e todas as etapas do processo serão mostradas a você sobre como o círculo é colocado na forma padrão.

Em termos gerais, calcular a forma padrão é bastante simples quando você conhece o raio e o centro, como veremos nas seções a seguir.

Qual é a forma padrão de um círculo?

Como acontece frequentemente em matemática, objetos matemáticos comumente usados podem ser expressos de diferentes maneiras. Por exemplo, para linhas temos o formulário padrão da linha e a forma de intercepção de encostas . Para círculos, algo semelhante acontece. Um círculo está na forma padrão se for expresso da seguinte forma:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

Neste caso, sabemos que \(r\) é o raio do círculo e \((x_0, y_0)\) é o centro do círculo.

Quais são os passos para encontrar a forma padrão do círculo?

• Etapa 1: Identifique quais informações você tem disponíveis. O processo dependerá se você tem o raio e o centro, ou se você tem uma equação na forma geral
• Passo 2: Se você tem o raio r e o centro, tudo que você precisa fazer é conectá-los à equação: \(\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\)
• Passo 3: Se você tem uma equação geral do círculo, você alcança a forma padrão conduzindo uma completando o processo quadrado , para ambas as variáveis x e y

Em seguida, você prosseguirá para calcular o equação do círculo sujeito ao tipo de informação que você tem disponível. Mais comumente você terá um raio e um centro fornecidos, e este é o caso mais fácil. Mas não é incomum precisar completar quadrados de uma equação geral.

Dificuldades em encontrar a equação padrão de um círculo

Como mencionamos anteriormente, o caso fácil é quando o raio e o centro são fornecidos, mas nem sempre é o caso, pois muitas vezes você começará com um equação quadrática geral e precisará completar os quadrados para chegar à equação padrão do círculo.

Como ir da forma geral para a forma padrão para um círculo?

• Passo 1: Você precisa realizar um processo de completar os quadrados para cada uma das variáveis x e y. Comece agrupando os termos com x e os termos com y
• Etapa 2: para cada variável, digamos x, você identifica quais termos combinam com x^2 e fatora-os
• Etapa 3: force a criação de um termo como 2*"algo"*x, e adicione e subtraia "algo" que você encontrou

Para mais detalhes, verifique este completando a calculadora de quadrados .

Por que se preocupar com a forma padrão de um círculo?

O formulário padrão lhe dirá tudo o que você precisa saber sobre um círculo, porque você pode ver visualmente, diretamente da equação, o que é o raio e o que é o centro.

Isso é diferente do caso do equação expandida de um círculo , onde à primeira vista, você não pode dizer nada sobre o raio ou o centro.

Exemplo: calculando a equação de forma padrão de um círculo

Obteve a equação padrão de um círculo dado que seu raio é r = 3/4, e está centrado em (2, 1).

Solução: Precisamos encontrar a forma padrão de um círculo, onde o raio fornecido é \(r = \displaystyle \frac{3}{4}\) e o centro fornecido é \((\displaystyle 2, 1)\).

A equação do círculo na forma padrão tem a seguinte estrutura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

onde \(x_0\) e \(y_0\) são as coordenadas xey correspondentes do centro e \(r\) é o raio. Portanto, tudo o que precisamos fazer para determinar completamente a forma padrão do círculo é identificar claramente o centro e o raio e colocá-los na fórmula acima.

Neste caso, pelas informações fornecidas já sabemos que \(x_0 = \displaystyle 2\) e \(y_0 = \displaystyle 1\) e \(r = \frac{3}{4}\). Conectando isso obtemos:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]\[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \]

Isso conclui o cálculo. Descobrimos que a equação do círculo na forma padrão é \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \)

Exemplo: equação de forma padrão de um cálculo de círculo

Suponha que um círculo esteja centrado na origem e seu raio seja 5/4. Encontre a forma padrão de sua equação

Solução: Precisamos encontrar a forma padrão de um círculo, onde o raio fornecido é \(r = \displaystyle \frac{5}{4}\) e o centro fornecido é \((\displaystyle 0, 0)\).

A equação do círculo na forma padrão tem a seguinte estrutura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

onde \(x_0\) e \(y_0\) são as coordenadas xey correspondentes do centro e \(r\) é o raio. Portanto, tudo o que precisamos fazer para determinar completamente a forma padrão do círculo é identificar claramente o centro e o raio e colocá-los na fórmula acima.

Neste caso, pelas informações fornecidas já sabemos que \(x_0 = \displaystyle 0\) e \(y_0 = \displaystyle 0\) e \(r = \frac{5}{4}\). Conectando isso obtemos:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\left(\frac{5}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \]

Isso conclui o cálculo. Descobrimos que a equação do círculo na forma padrão é \(\displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \)

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