Mais sobre esta área de uma calculadora de setor

Esta calculadora calculará a área de um setor de um círculo, mostrando todos os passos. Tudo o que você precisa fazer é fornecer um raio e um ângulo válidos. O raio pode ser qualquer expressão numérica positiva, enquanto o ângulo pode representar qualquer coisa entre 0 e o círculo completo, seja em radianos ou graus.

Se você optar por usar graus, o ângulo pode variar entre 0 ^o e 360 ^o , enquanto que se você escolher radianos, o ângulo pode variar entre 0 e \(2\pi\).

Depois de fornecer um raio e um ângulo válidos, você pode clicar em "Calcular" e serão fornecidas todas as etapas do processo necessárias para calcular a área do setor correspondente, usando uma fórmula adequada.

Os setores podem ser vistos como as “fatias de pizza”, onde o círculo é a pizza inteira, e o setor é uma fatia de pizza. Além disso, fica claro que quanto maior a pizza (maior raio), maiores são os slides, e quanto maior a abertura da fatia, maior a fatia.

Como usar a área de uma fórmula de setor?

A área do setor será baseada na fórmula da área do círculo , ao considerar o círculo inteiro.

- Primeiro, para dar uma fórmula para a área de um setor, precisamos distinguir dois casos: o ângulo é dado em radianos, ou o ângulo é dado em radianos.

- Suponha que o ângulo α seja dado em graus, e seja A a área do setor correspondente, e r o raio. Temos a seguinte proporção direta:

\[\displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{360}{\pi r^2} \]

Essa proporção direta está dizendo que a área do setor é diretamente proporcional ao ângulo. Resolvendo para A, obtemos

\[\displaystyle A = \displaystyle \frac{\pi r^2\alpha}{360}\]

- Suponha que o ângulo α seja dado em radianos, e seja A a área do setor correspondente e r o raio. Agora temos a seguinte proporção direta:

\[\displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{2\pi}{\pi r^2} \]

Essa proporção direta está dizendo que a área do setor é diretamente proporcional ao ângulo. Resolvendo para A, obtemos

\[\displaystyle A = \displaystyle \frac{r^2\alpha}{2}\]

Quais são os passos para calcular a área de um setor?

• Etapa 1: Identifique o ângulo fornecido e, muito importante, determine se o ângulo é fornecido em graus ou radianos
• Passo 2: Se o ângulo α for dado em graus: Use a fórmula \(\displaystyle A = \displaystyle \frac{\pi r^2\alpha}{360}\)
• Passo 3: Se o ângulo α for dado em radianos: Use a fórmula \(\displaystyle A = \displaystyle \frac{r^2\alpha}{2}\)

Observe que se r vier com unidades de comprimento, a área A terá o quadrado dessas unidades. Por exemplo, se o raio for dado em polegadas, a área será em polegadas ² .

O que é representado pela área de um setor de um círculo?

A grande questão é o que significa a área de um setor. Neste caso, a interpretação é simples: a área do setor é a magnitude desse setor, em termos de sua extensão, algo como senso geométrico de área.

Esta calculadora de área de setor é a mesma que a área de um círculo?

Não é o mesmo, mas em muitos aspectos é muito semelhante e usa as mesmas ideias. Por exemplo, a área de um setor será uma parte do total área do círculo completo correspondente .

Que parcela será essa? Bem, exatamente a parte do ângulo em relação à circunferência total. Por exemplo, se o setor tem um ângulo que é um quarto do circunferência completa (90 graus), então a área do setor será exatamente um quarto da área total do círculo).

Por que lidar com áreas de setores?

Os setores estão intimamente relacionados com os ângulos em graus e radianos , e é muito comum que você precise lidar com eles em geometria, e há um punhado de resultados matemáticos interessantes associados a eles.

A ideia de área de setores relacionados ao tamanho de uma fatia de pizza deve ser suficiente para se interessar, né?

Exemplo: área de um setor

Encontre a área de um setor correspondente a um ângulo de \(\alpha = \pi\) radianos, com um raio de r = 3.

Solução: Precisamos encontrar a área de um setor. A informação que temos é que o raio é \(r = 3\), e o setor é definido por um ângulo de \(\alpha = \pi\) radianos.

Seja \(A\) a área do setor correspondente e \(r\) o raio do círculo. Temos a seguinte proporção direta:

\[\displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{2\pi}{\pi r^2} \]

Esta proporção direta indica que a área do setor \(A\) está em proporção direta com o ângulo do setor. Podemos resolver para \(A\), e obtemos

\[ A = \displaystyle \frac{r^2 \alpha}{2}\]

Agora, tudo o que resta a fazer é inserir os valores conhecidos do raio e do ângulo, então temos:

\[ \begin{array}{ccl} A & = & \displaystyle \frac{r^2\alpha}{2} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{(3)^2 \cdot \pi}{2} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{9}{2}\pi{} \end{array} \]

Isso conclui o cálculo. Descobrimos que a área do setor correspondente do círculo é \(\displaystyle A = \frac{9}{2}\pi{}\).

Exemplo: calculando a área de um setor

Agora, calcule a área de um setor para um círculo com raio r = 2 e um ângulo de setor de \(\alpha = 45\) graus

Solução: Precisamos encontrar a área de um setor. A informação que temos é que o raio é \(r = 2\), e o setor é definido por um ângulo de \(\alpha = 45\) graus. Portanto, neste caso, o ângulo é fornecido em graus.

Seja \(A\) a área do setor correspondente e \(r\) o raio do círculo. Temos a seguinte proporção direta:

\[ \displaystyle \frac{\alpha}{A} = \displaystyle \frac{360}{\pi r^2} \]

Esta proporção direta indica que a área do setor \(A\) está em proporção direta com o ângulo do setor. Podemos resolver para \(A\), e obtemos

\[ A = \displaystyle \frac{\pi r^2 \alpha}{360} \]

Agora, tudo o que resta a fazer é inserir os valores conhecidos do raio e do ângulo, então temos:

\[ \begin{array}{ccl} A & = & \displaystyle \frac{\pi r^2 \alpha}{360} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \displaystyle \frac{\pi \cdot (2)^2 \cdot 45}{360} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\pi{} \end{array} \]

Isso conclui o cálculo. Descobrimos que a área do setor correspondente do círculo é \(\displaystyle A = \frac{1}{2}\pi{}\).

Exemplo: outro cálculo

Qual é a área do setor quando o ângulo é \(2\pi\) radianos.

Solução: Neste caso, \(2\pi\) radianos corresponde ao círculo completo, então a área é igual à área do círculo, \(A = \pi r^2\).

Mais calculadoras de calculadoras de círculo

Os setores estão fortemente associados a ângulos em graus e radianos , e naturalmente, porque os setores são definidos pela magnitude da abertura, que é exatamente o que os ângulos medem.

Um caso especial de uma área de um setor é a Área de um círculo , em que o ângulo do setor inclui toda a circunferência .