Maggiori informazioni sulle funzioni lineari

Questo calcolatore di funzioni lineari ti permetterà di calcolare a funzione lineare fornendo determinate informazioni richieste sulla funzione.

Ci sono diversi modi per farlo. Puoi (1) fornire un'equazione lineare in x e y che può essere risolta per y, oppure (2) fornire direttamente la pendenza e Intercettazioni a Y , oppure (3) puoi fornire la pendenza e un punto in cui passa la linea, oppure (4) puoi fornire 2 punti in cui passa la linea.

Quali informazioni fornirete? Dipende in gran parte dalle informazioni che hai a disposizione e dipenderà dal caso specifico.

Un caso comune è trovare una funzione lineare che passi per due punti dati, ma anche gli altri modi per determinare la retta sono comuni.

Cos'è una funzione lineare?

La risposta dipende da quante variabili stai considerando, ma per una variabile x, una funzione lineare è una funzione della forma

\[f(x) = a + b x \]

Solo un dettaglio tecnico, in matematica più avanzata, questa è una funzione lineare affine, e non è strettamente lineare a meno che a = 0, ma quell'idea va oltre lo scopo di questa presentazione. Per noi, \(f(x) = a + b x \) è una funzione lineare in x.

Il valore di a in \(f(x) = a + b x \) è noto come the Intercettazioni a Y , e b è noto come il pendenza . A volte vedrai la convenzione \(f(x) = mx + n \), dove m è la pendenza e n è l'intercetta y.

Ma questa è una convenzione sui nomi, devi solo ricordare che la costante che moltiplica la variabile x è la pendenza e l'altra è l'intercetta y. Perché? Perché quando x = 0, otteniamo \(f(0) = m \cdot 0 + n = n\), che indica che n è precisamente l'intercetta perché.

Quali sono i passaggi per calcolare una funzione lineare?

• Passaggio 1: identifica il tipo di informazioni che hai fornito
• Passaggio 2: se l'informazione che hai è un'equazione lineare in x e y, devi risolvere per y e quindi hai automaticamente l'impostazione della funzione lineare f(x) = y
• Passo 3: Se hai la pendenza b e l'intercetta y a, allora la funzione lineare è direttamente f(x) = a + b x
• Passo 5: Se hai due punti \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) dove passa la linea, allora puoi usare la formula: \(\displaystyle f(x) = y_1 + \left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right)(x-x_1)\) per la funzione lineare
• Passo 6: Se invece hai un punto \((x_1, y_1)\) dove passa la retta e la pendenza, allora puoi usare la formula: \(\displaystyle f(x) = y_1 + m(x-x_1)\) per la funzione lineare

L'elenco di passaggi di cui sopra è un elenco completo e considera tutti i casi possibili. Ultima, la situazione più semplice e meno complicata corrisponde al caso in cui la pendenza e l'intercetta di y sono note, dove possiamo calcolare la forma di intercetta della pendenza immediatamente, ma non è sempre così.

Qual è la formula della funzione lineare

In definitiva, e indipendentemente dalle informazioni che hai fornito, puoi arrivare alla formula della funzione lineare nota come forma dell'intercetta della pendenza, che è:

\[y = a + bx \]

Ora, poiché stai definendo una funzione, puoi anche scrivere \(f(x) = a + b x\).

Quali sono i passaggi per trovare la formula della funzione lineare?

• Passaggio 1: identificare le informazioni fornite
• Passaggio 2: arrivare alla formula corrispondente y = a + bx, identificando la pendenza b e l'intercetta y a
• Passo 3: Sostituisci y con f(x) e scrivi f(x) = a + bx

Geometricamente, il grafico della funzione lineare sarà una linea che attraversa effettivamente l'asse y nel punto (0, a), e la pendenza b rifletterà il grado di inclinazione della linea.

Perché è utile calcolare funzioni lineari?

La relazione lineare tra variabili è molto comune in tantissime applicazioni, quindi diventa indispensabile per comprendere appieno come funzionano le funzioni lineari.

E possiamo anche definire funzioni lineari per più variabili, che le rendono un oggetto ancora più potente.

Esempio: calcolatrice di funzioni lineari

Calcola l'equazione della funzione lineare che passa per i punti: \( (\frac{22}{3}, \frac{7}{4})\) e \((-1, \frac{5}{6})\)

Soluzione: L'obiettivo principale è costruire una funzione lineare basata sulle informazioni fornite, se possibile.

L'informazione fornita sulla retta è che essa passa per i punti\(\displaystyle \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\) e \(\displaystyle \left( -1, \frac{5}{6}\right)\)

Pertanto, il primo passo consiste nel calcolare la pendenza. La formula per la pendenza è: \[\displaystyle b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Ora, inserendo i numeri corrispondenti in , otteniamo che la pendenza è: \[\displaystyle b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{ \displaystyle \frac{5}{6} - \frac{7}{4}}{ \displaystyle -1 - \frac{22}{3}} = \frac{ \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{7}{4}}{ \displaystyle -1-\frac{22}{3}} = \frac{11}{100}\]

Ora sappiamo che la pendenza è \(\displaystyle m = \frac{11}{100}\) e che la retta passa per il punto \(\displaystyle \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\)

Quindi, con le informazioni in nostro possesso, possiamo costruire direttamente la forma punto-pendenza della retta, che è

\[\displaystyle y - y_1 = b \left(x - x_1\right)\]

e poi inserendo i valori noti di \(\displaystyle b = \frac{11}{100}\) e \(\displaystyle \left( x_1, y_1 \right) = \left( \frac{22}{3}, \frac{7}{4}\right)\), si ottiene che

\[\displaystyle y-\frac{7}{4} = \frac{11}{100} \left(x-\frac{22}{3}\right)\]

Ora, dobbiamo espandere il lato destro dell'equazione distribuendo la pendenza, in modo da ottenere \[\displaystyle y = \frac{11}{100} x + \frac{11}{100} \left(-\frac{22}{3}\right) + \frac{7}{4}\]

e semplificando si ottiene che \[\displaystyle y=\frac{11}{100}x+\frac{283}{300}\]

Conclusione : Sulla base dei dati forniti, concludiamo che l'equazione della retta è \(\displaystyle f(x)=\frac{11}{100}x+\frac{283}{300}\), e corrisponde a una retta con una pendenza di \(\displaystyle b = \frac{11}{100}\) e un'intercetta di y di \(\displaystyle a = \frac{283}{300}\).

Sulla base di queste informazioni, il grafico è:

Esempio: un altro calcolo della funzione lineare

Calcolare la funzione lineare associata a : \(\frac{1}{3}x + \frac{5}{4}y - \frac{5}{6} = 0\)

Soluzione:

Ora per questo esempio il modo in cui abbiamo definito una funzione lineare è tramite un'equazione lineare generale, data da:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y-\frac{5}{6}=0\]

Possiamo semplificare le costanti:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{5}{4}y-\frac{5}{6}=0\]

Ora, mettendo \(y\) a sinistra e \(x\) e la costante a destra otteniamo

\[\displaystyle \frac{5}{4}y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{6}\]

Ora, risolvendo per \(y\), dividendo entrambi i lati dell'equazione per \(\frac{5}{4}\), si ottiene quanto segue

\[\displaystyle y=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{4}}x+\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{4}}\]

e semplificando si ottiene la seguente formula

\[\displaystyle y=-\frac{4}{15}x+\frac{2}{3}\]

Conclusione : Ora possiamo dire che, sulla base dei dati forniti, la conclusione è che l'equazione della retta è \(\displaystyle f(x)=-\frac{4}{15}x+\frac{2}{3}\), e corrisponde a una retta con pendenza \(\displaystyle b = -\frac{4}{15}\) e intercetta y < >.

Sulla base di queste informazioni, il grafico è:

Esempio: più calcolatori di funzioni lineari

Calcolare la funzione lineare con pendenza m = 0 e che attraversa l'asse y nel punto (0, 4).

Soluzione: In questo caso, abbiamo dato la pendenza, che è m = 0, e l'intercetta y, che è (0, 4). Poiché la pendenza è 0, la retta è orizzontale, quindi in questo caso l'equazione della retta è \(f(x) = 4\).

Altri calcolatori di funzioni lineari

Calcolatrici interessanti sono il calcolatore della pendenza e il calcolatore dell'intercetta y. Potrebbe interessarti anche tu trovare la retta perpendicolare ad una data retta .

Un'altra forma comune per la linea è il modulo standard , e puoi certo convertire da una forma all'altra.