Maggiori informazioni sulla serie geometrica infinita

L'idea di un file infinito la serie può essere sconcertante all'inizio. Non deve essere complicato quando capiamo cosa intendiamo per serie.

Una serie infinita non è altro che una somma infinita. In altre parole, abbiamo un insieme infinito di numeri, diciamo \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), e sommeremo questi termini, come:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

Ma poiché può essere noioso dover scrivere l'espressione sopra per chiarire che stiamo sommando un numero infinito di termini, usiamo la notazione, come sempre in matematica. Una serie infinita è scritta come:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

che è un modo più compatto e inequivocabile di esprimere ciò che intendiamo. Tuttavia, l'idea della somma infinita è un po 'confusa. Cosa si intende per somma infinita?

Questa è una buona domanda: l'idea di sommare un numero infinito di termini consiste nell'aggiungere un certo termine \(N\) e quindi spingere questo valore \(N\) fino all'infinito. Quindi, precisamente, una serie infinita è definita come

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

Quindi, in effetti, quanto sopra è la definizione formale della somma di una serie infinita.

Cosa c'è di speciale in una serie geometrica

In generale, per specificare una serie infinita, è necessario specificare un numero infinito di termini. Nel caso della serie geometrica, è sufficiente specificare il primo termine \(a\) e il rapporto costante \(r\).

Il termine generale n-esimo della sequenza geometrica è \(a_n = a r^{n-1}\), quindi la serie geometrica diventa

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

Un risultato importante è che la serie di cui sopra converge se e solo se \(|r| < 1\). In tal caso, la formula della serie geometrica per la somma è

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

Esempi

Ad esempio, possiamo calcolare la somma della serie geometrica \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\). In questo caso, il primo termine è \(a = 1\) e il rapporto costante è \(r = \frac{1}{2}\). Quindi, la somma viene calcolata direttamente come:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

Quello che succede con la serie è \(|r| > 1\)

Risposta breve: la serie diverge. I termini diventano troppo grandi, come con la crescita geometrica, se \(|r| > 1\) i termini nella sequenza diventeranno estremamente grandi e convergeranno all'infinito.

E se la somma non fosse infinita

In tal caso, è necessario utilizzare questo calcolatrice somma sequenza geometrica , in cui si somma un numero finito di termini.