Espressioni espandibili

Questa calcolatrice di espansione consente di espandere un'espressione fornita dall'utente, mostrando tutti i passaggi pertinenti. Può trattarsi di un'espressione relativamente semplice, come 2(x-1)^2, oppure di qualcosa di più complesso, che coinvolge alcune funzioni composte .

Una volta fornita un'espressione valida, non resta che fare clic su "Calcola" per ottenere i risultati, con tutti i passaggi del caso che mostrano come si arriva alla risposta finale.

L'algebra delle frazioni implica la conversione di frazioni come l'uso del denominatore comune e l'uso di regole aritmetiche di base. Tutto sommato, il processo di calcolo può essere laborioso, sebbene possa essere eseguito sistematicamente, senza troppi problemi.

Cosa significa espandere un'espressione?

In larga misura, espandere un'espressione è un po' l'opposto di semplificare un'espressione ma c'è dell'altro, perché i termini si intrecciano l'uno con l'altro.

Ad esempio, se si ha l'espressione:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

come la espanderesti? In base al significato della parola, si potrebbe pensare che si stia cercando di rendere l'espressione più grande possibile, più "espansa" possibile. Sotto questa luce, si potrebbe dire che abbiamo la seguente espansione:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

Non so voi, ma a me sembra un po' incompleto: vorreste lasciare la parte "2 - 3" senza elaborazione? Io non lo farei, farei invece

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

Come potete vedere, c'è un po' di semplificazione in questo processo di espansione. Quindi, non è del tutto vero che espandere è l'opposto di semplificare. L'espansione di un'espressione consiste nei seguenti passaggi Regole PEMDAS per distribuire i termini, e poi comporta una semplificazione delle espressioni parte.

Come si espande un'espressione o un'equazione?

Il processo di espansione, come abbiamo detto prima, non si limita a rendere il termine "il più esteso possibile", ma è un mix di distribuzione e semplificazione dei termini. Ma c'è anche un livello di granularità da decidere, perché le distribuzioni non sono le uniche espansioni possibili.

Ad esempio, possiamo pensare alle operazioni con espressioni radicali . Supponiamo di avere a che fare con una semplice espressione come

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

Come lo ampliereste? Fareste questa espansione?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

Sebbene si tratti di un'operazione valida, alcune persone ne mettono in dubbio il senso dicendo "perché espandere un'espressione che è già perfettamente semplificata". Ma ci sono alcuni usi validi, per esempio, si può avere un \(\sqrt y\) nel denominatore, nel qual caso si avrebbe

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

il che porta anche alla seguente domanda: qual è l'espansione "corretta"? \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) o \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)?

Spero che questi punti vi abbiano aiutato a capire che non esiste un unico modo di espandere un'espressione. Quando è necessario espandere un termine, è necessario seguire i seguenti passaggi:

• Passo 1: Identificate la granularità del vostro processo di espansione: espanderete solo per distribuzione o espanderete termini come radicali usando le regole dei radicali, espressioni trigonometriche (usando le identità trigonometriche), espressioni esponenziali (usando la regola della potenza), espressioni logaritmiche ecc.
• Passo 2: Una volta decisa la granularità dell'espansione dell'espressione che si intende intraprendere, è necessario seguire le corrispondenti regole PEMDAS che regoleranno tale espansione, prestando attenzione alle regole di priorità stabilite da PEMDAS
• Passaggio 3: Una volta espansa l'espressione secondo i passaggi precedenti, è necessario raggruppare i termini simili, se necessario, effettuando una "semplificazione dell'espansione".
• Passo 4 : Pronto. Avete trovato l'espressione estesa?

La maggior parte dei sistemi di algebra computerizzata (CAS), come Mathematica, Sage, Octave, ecc. utilizzano criteri diversi per l'espansione e la semplificazione, portando spesso a risultati finali diversi.

Come si espandono gli esponenziali?

Come abbiamo detto prima, tutto dipende dalla granularità dell'espansione: cioè, che tipo di espressione si vuole espandere, solo la distribuzione di moltiplicazioni e addizioni, o si vogliono includere altri tipi.

Per il caso degli esponenziali, ad esempio, segue direttamente la regola della potenza che afferma che

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

che vi offre proprio l'espansione che state cercando.

Come si espande un polinomio?

I polinomi vengono tipicamente espansi utilizzando la proprietà di distribuzione. Ad esempio, è possibile espandere questo prodotto di polinomi:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

Applicando la proprietà distributiva, troviamo che

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

Come si può vedere, l'espansione di polinomi comporta un uso relativamente semplice della regola della distributività. Le cose possono sicuramente diventare più complesse quando si mescolano diversi tipi di espressioni, ma questo espandere la calcolatrice di espressioni si occuperà non solo di polinomi ma anche della combinazione di diversi tipi di espressioni, con regole specifiche da espandere.

Un altro tipo di espansione comune per i polinomi è quella basata sulla formula teorema di espansione binomiale che spiega come espandere una potenza come \((x+y)^n\). Come potete vedere, la trama si infittisce e le cose possono diventare davvero complesse.

Perché si vuole espandere un'espressione?

Ci sono molte ragioni, tra cui la cancellazione dei termini, ma non solo, perché spesso possiamo espandere le espressioni per comprenderne meglio la struttura e le proprietà.

La domanda di come semplificare un'espressione E come espandere un'espressione potrebbero sembrare a prima vista opposti, ma abbiamo visto che in realtà vanno di pari passo e si intrecciano.

Esempio di espressione in forma espansa

Esprimere la seguente espressione in forma espansa \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

Soluzione: Supponiamo di aver deciso di espandere tutti i tipi di espressioni, comprese le equazioni logaritmiche. In questo caso l'espressione che stiamo trattando ha un termine di frazione che non può essere espanso in alcun modo significativo, ma la parte logaritmica può essere espansa come \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\). Si ottiene quindi

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

che porta all'espressione in forma espansa.

Altri utili calcolatori di algebra

La semplificazione e l'espansione delle espressioni sono due operazioni complementari piuttosto che opposte. Sono necessarie entrambe per svolgere l'algebra in modo efficiente. Ad esempio, è possibile utilizzare un'espressione Equazione Semplificare per semplificare le equazioni, il che implica a priori che le equazioni siano più facili da risolvere, una capacità pratica da avere.

Infatti, Risolvere le equazioni è una delle abilità più importanti dell'Algebra e bisogna avere una completa padronanza dei processi di espansione e semplificazione, nonché di riduzione e incremento. Tutte queste abilità vi saranno utili.

L'espansione può essere cruciale in altri contesti, ad esempio quando si utilizza l'opzione teorema binomiale , quindi per scomporre quali componenti un termine deve, ad esempio, abbinarli uno ad uno con un'altra espressione .