Ulteriori informazioni sulla composizione delle funzioni

Questo calcolatore te lo permetterà calcolare una funzione composto $f \circ g$ basato su due funzioni $f$ e $g$ fornite. Si noti che in generale $f \circ g$ non è lo stesso di $g \circ f$ quindi l'ordine è rilevante.

Quando si calcola la composizione $f \circ g$, c'è una funzione interna $g$ e una funzione esterna $f$, e si cambia l'ordine, molto spesso il risultato varia.

Osserva che $f$ e $g$ devono essere funzioni definite in modo valido, come ad esempio $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = 2x+1$, quindi avremmo quel $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{2x+1}$ .

Cos'è una funzione composta?

Per formare una funzione composta, si valuta una funzione all'interno di un'altra funzione. Siano funzioni $f$ e $g$, la funzione composta è definita come

$$\displaystyle (f \circ g)(x) = f(g(x))$$

Quali sono i passaggi per trovare la funzione composta?

• Passaggio 1: identifica le funzioni f e g per le quali eseguirai la composizione della funzione
• Passaggio 2: stabilire chiaramente la funzione interna ed esterna. In questo caso assumiamo che f sia la funzione esterna e g sia la formula interna
• Passaggio 3: la funzione composta è definita come (f◦g)(x) = f(g(x))

Puoi semplificare l'output risultante di f(g(x)) e, infatti, la calcolatrice lo semplificherà per te. Un punto importante è rendersi conto che potrebbe essere necessario restringere il dominio della funzione composita in modo che sia ben definito.

Cos'è un calcolatore di nebbia

In questo caso, fog non è la nebbia che conosci, si riferisce alla composizione di f e g, scritta come $f \circ g$.

La composizione delle funzioni sarà tanto coinvolta algebricamente quanto la complessità delle funzioni che le compongono. Cioè, la composizione di semplici funzioni porterà a una semplice funzione composta, che è facile da calcolare.

Usando questo calcolatore composito

Il vantaggio dell'utilizzo di questo calcolatore composito è che otterrai la funzione composta calcolata e semplificata nei suoi termini più semplici, ma otterrai anche la funzione composta rappresentata graficamente.

Catena di funzioni composte

La composizione può essere applicata a più di due funzioni. Ad esempio, si considerino le funzioni $f$, $g$ e $h$. La composizione della catena è definita come

$$\displaystyle (f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$$

dove l'ordine in cui componi le espressioni è rilevante.

Dominio del calcolatore di funzioni composte

Si noti che il dominio di una funzione composta può essere diverso da quello delle due funzioni originali. Ad esempio, rivediamo il caso di $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = 2x+1$. Il dominio di f è $[0, \infty)$ e il dominio di g è $(-\infty, \infty)$, ma poiché $(f\circ g)(x) = \sqrt{2x+1}$, il dominio di $f\circ g$ è $[-\frac{1}{2}, \infty)$.

Esempio: composizione di funzioni

Calcolare e rappresentare graficamente: $(f \circ g)(x)$ per $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = 2x-1$.

Soluzione: Sono state fornite le seguenti funzioni: $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ e $\displaystyle g(x)=2x-1$, per le quali occorre calcolare la funzione composta $f \circ g$.

Per definizione, la funzione composta $f \circ g$ è definita come:

$$\begin{array}{ccl} f \circ g & = & f(g(x)) \\\\ & = & \sqrt{2x-1} \end{array}$$

Non c'è nulla da semplificare in questo caso, quindi la funzione composta che stiamo cercando è $f \circ g(x)=\sqrt{2x-1}$.

Si ottiene il seguente grafico per la funzione composta $f \circ g(x)=\sqrt{2x-1}$ sull'intervallo $[-5, 5]$:

Esempio: calcolo della funzione composta

Calcolare e rappresentare graficamente: $(f \circ g)(x)$ per $f(x) = x^{3/2}$ e $g(x) = x+2$. $(f \circ g)(x)$ è uguale a $(g \circ f)(x)$ in questo caso?

Soluzione: Queste sono le funzioni che dobbiamo comporre: $\displaystyle f(x)=x^{3/2}$ e $\displaystyle g(x)=x+2$.

Per definizione, la funzione composta $f \circ g$ è definita come:

$$\begin{array}{ccl} f \circ g & = & f(g(x)) \\\\ & = & \left(x+2\right)^{3/2} \end{array}$$

Non c'è nulla da semplificare in questo caso, quindi la funzione composta che stiamo cercando è $f \circ g(x)=\left(x+2\right)^{3/2}$.

Il seguente grafico è ottenuto per la funzione composta $f \circ g(x)=\left(x+2\right)^{3/2}$ sull'intervallo $[-5, 5]$:

Esempio: esempio di calcolo della funzione composta

Trova $(f \circ g)(x)$ per $f(x) = x^2$ e $g(x) = x-2$ e rappresenta graficamente la funzione composta.

Soluzione: In questo esempio dobbiamo lavorare con $\displaystyle f(x)=x^2$ e $\displaystyle g(x)=x-2$, che ci richiede di calcolare la funzione composta. $f \circ g$.

Usando la definizione, la funzione composta $f \circ g$ è definita come:

$$\begin{array}{ccl} f \circ g & = & f(g(x)) \\\\ & = & \left(x-2\right)^2 \end{array}$$

L'espressione di cui sopra deve essere semplificata e i passaggi sono i seguenti:

Allora, dopo aver semplificato, la funzione composta che si ottiene è $f \circ g(x)=x^2-4x+4$.

La funzione composta $f \circ g(x)=x^2-4x+4$ porta al seguente grafico sull'intervallo $[-5, 5]$:

Altri calcolatori di algebra

Funzioni sono uno degli elementi principali dell'algebra e del calcolo. E il motivo è che incarna un modo per stabilire una relazione tra due variabili x e y.

Molte applicazioni dipendono dalle operazioni che esegui e anche dal grafico di una funzione , che contiene tutte le informazioni "memorizzate" nella funzione.