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Forme générale d'un cercle

Instructions: Utilisez cette calculatrice de fractions pour calculer la forme générale d'un cercle, en indiquant toutes les étapes. Veuillez saisir le rayon et les coordonnées du centre dans le formulaire ci-dessous.

Entrez le rayon (Ex : 2, ou toute expression numérique positive comme 1/3, etc.)

Entrez la coordonnée x du centre (Ex : 2, ou toute expression numérique comme 1/3, etc.)

Entrez la coordonnée y du centre (Ex : 2, ou toute expression numérique comme 1/3, etc.)

En savoir plus sur la forme générale d'un cercle

Cette calculatrice vous permettra de calculer la forme générale d'un cercle, en indiquant toutes les étapes. Tout ce que vous devez fournir est le rayon et le centre du cercle. Toutes les expressions numériques valides sont acceptées (ex : 2, ou une fraction comme 3/4, etc). La seule restriction est que le rayon doit être positif.

Une fois que vous avez fourni les informations valides nécessaires pour définir le cercle, vous pouvez cliquer sur "Calculer", et toutes les étapes du processus s'afficheront pour vous.

Le processus est souvent direct : pour calculer l'équation d'un cercle vous commencez avec le rayon et le centre et vous obtenez le équation standard du cercle . Ensuite, on développe les termes et on obtient la forme générale ou étendue.

Forme Générale D'Un Cercle

Quelle est la forme générale d'une formule de cercle ?

La formule générale d'un cercle est exactement ce que son nom indique, elle implique d'avoir un terme quadratique général en x et y, avec la restriction que le coefficient quadratique doit être égal à 1 (sinon, s'il n'y en a pas un mais égal, vous pouvez le diviser par lui, mais s'ils ne sont pas égaux, alors ce ne sera pas un cercle, mais un ellipse ). La formule est la suivante :

\[\displaystyle x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \]

Quelles sont les étapes pour trouver le cercle de forme générale ?

  • Étape 1 : Identifiez les informations fournies. Si vous avez le rayon et le centre, vous pouvez directement obtenir la forme standard
  • Étape 2 : Une fois que vous avez le cercle de la forme standard, il vous suffit de développer tous les termes et de les regrouper terme par terme
  • Étape 3 : Si les coefficients multiplicateurs de x^2 et y^2 ne sont pas égaux à 1, regardez s'ils sont identiques. S'ils le sont, divisez les deux côtés de l'équation par ce coefficient. Si ce n'est pas le cas, alors ce n'est pas un cercle

Ce processus est en fait plus simple que de faire le chemin inverse via Compléter le carré . Ici, il suffit d'élargir et de regrouper.

Équation générale du cercle et du rayon

Naturellement, à partir du cercle des formes générales, on peut remonter jusqu'au cercle de forme standard et connaître le rayon et le centre, mais le processus peut nécessiter un certain travail algébrique.

Cela dépend vraiment des circonstances, vous n'avez pas nécessairement besoin de passer de la forme générale à la forme standard. Normalement, lors de la résolution d'une équation, il n'y a pas besoin d'une telle conversion, par exemple.

Pourquoi utiliser des cercles de forme générale ?

Certes, les cercles de forme générale ne vous diront pas en un clin d'œil le rayon et le centre, mais d'une part, la forme générale est une façon typique dont les équations de cercle apparaissent dans les applications.

Ainsi, vous l'utiliserez parfois simplement pour résoudre des équations et peut-être des problèmes de maximisation, et souvent c'est tout ce que vous avez besoin de savoir sur le cercle, sans passer par la connaissance du rayon ou le centre.

Equation Générale D'Un Cercle

Exemple : calcul du cercle de forme générale

Calculez l'équation d'un cercle de centre (2, 3) et de rayon 2/3 sous la forme générale.

Solution:

Nous devons trouver la forme standard d'un cercle, où le rayon fourni est \(r = \displaystyle \frac{2}{3}\), et le centre qui a été fourni est \((\displaystyle 2, 3)\).

L'équation du cercle sous forme standard a la structure suivante :

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

où \(x_0\) et \(y_0\) sont les coordonnées x et y correspondantes du centre, et \(r\) est le rayon. Par conséquent, tout ce que nous devons faire pour déterminer complètement la forme standard du cercle est d'identifier clairement le centre et le rayon, et de les insérer dans la formule ci-dessus.

Dans ce cas, à partir des informations fournies, nous savons déjà que \(x_0 = \displaystyle 2\) et \(y_0 = \displaystyle 3\), et \(r = \frac{2}{3}\). En branchant cela, nous obtenons :

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\frac{4}{9} \]

Maintenant, nous passons la constante qui est à droite à gauche avec un signe négatif et nous simplifions. On obtient ce qui suit :

\( \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
We distribute the terms inside of the parentheses
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-2x-2x+2^2+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
Grouping the numerical values and grouping the terms with \(x\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-4x+2^2+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
We reduce the integers that can be added together: \(\displaystyle 2^2 = 4\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-4x+4+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
By distributing the terms inside of the parentheses
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-4x+4+y^2-3y-3y+3^2-\frac{4}{9}\)
Grouping some of the numerical values and fractions and aggregating those terms with \(y\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+4+3^2-\frac{4}{9}\)
Reducing integers that can be added: \(\displaystyle 4+3^2 = 13\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+13-\frac{4}{9}\)
Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 13-\frac{ 4}{ 9}=13 \times \frac{ 9}{ 9}-\frac{ 4}{ 9}=\frac{ 13 \times 9-4}{ 9}=\frac{ 117-4}{ 9}=\frac{ 113}{ 9}\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+\frac{113}{9}\)

Par conséquent, nous trouvons de la simplification ci-dessus que l'équation du cercle sous forme générale est :

\[\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+\frac{113}{9} = 0\]

Ceci conclut le calcul. On a trouvé que l'équation du cercle sous forme standard est \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\frac{4}{9}\). On a aussi trouvé que la forme générale du cercle dans ce cas est \(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+\frac{113}{9} = 0\)

Exemple : calculateur de cercle de forme générale

Trouvez l'équation d'un cercle de forme générale dont le centre est à l'origine et le rayon r = 4.

Solution: We need to find the standard form of a circle first, where the provided radius is \(r = \displaystyle 4\), and the center that has been provided is \((\displaystyle 0, 0)\).

L'équation du cercle sous forme standard a la structure suivante :

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

où \(x_0\) et \(y_0\) sont les coordonnées x et y correspondantes du centre, et \(r\) est le rayon. Par conséquent, tout ce que nous devons faire pour déterminer complètement la forme standard du cercle est d'identifier clairement le centre et le rayon, et de les insérer dans la formule ci-dessus.

Dans ce cas, à partir des informations fournies, nous savons déjà que \(x_0 = \displaystyle 0\) et \(y_0 = \displaystyle 0\), et \(r = 4\). En branchant cela, nous obtenons :

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=4^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=16 \]

Maintenant, en faisant passer la constante qui se trouve à droite à gauche avec un signe négatif, nous obtenons directement la forme générale du cercle :

\[\displaystyle x^2+y^2-16 = 0\]

Ceci conclut le calcul. On a trouvé que l'équation du cercle sous forme standard est \(\displaystyle x^2+y^2=16\). On a également trouvé que la forme générale du cercle dans ce cas est \(\displaystyle x^2+y^2-16 = 0\).

Autres calculateurs de cercle

Il existe de nombreuses autres calculatrices de cercle qui peuvent vous intéresser. Vous pouvez calculer le Aire d'un cercle et son circonférence comme la propriété la plus fondamentale des cercles.

Vous pouvez également passer du diamètre à la circonférence ou de la circonférence au diamètre, selon le type d'informations que vous avez fournies. Un fait intéressant est que pour de nombreux calculs de cercles, vous n'avez pas besoin de calculer l'équation du cercle .

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