Propiedad conmutativa de la suma
La propiedad conmutativa de la suma es una de las suposiciones cruciales que se hacen en matemáticas, que probablemente da por sentado y usa todo el tiempo sin saberlo.
La idea de conmutatividad gira en torno al orden de una operación. La pregunta es, tengo eso
\[\large a + b = b + a\]para cualquier número \(a\) y \(b\)? Para ti, esa puede ser una pregunta tonta. Como "a qué te refieres, por supuesto". Pero la conmutatividad no es válida para TODAS las operaciones. Pero sucede que es cierto para la suma común de números.
¿Existe alguna prueba de la conmutatividad de la suma? Técnicamente no, porque es más bien un axioma para los números reales como campo algebraico.
Sin embargo, pero al comprender cómo opera la suma, es fácil ACORDAR que la conmutatividad tiene sentido y, por lo tanto, aceptamos el axioma.
Por ejemplo, tiene todo el sentido del mundo pensar que \(3 + 4\) es lo mismo que \(4 + 3\). ¿Por qué es eso? Por la forma en que realizamos la suma en nuestra mente: es como contar 3 (digamos, usando los dedos) y luego contamos 4.
Entonces razonamos que al final contaríamos la misma cantidad de dedos, incluso si contáramos 4 primero y 3 segundos.
Esa es una buena forma de verlo. Y el concepto para llevar a casa de esto es que NO se concede la conmutatividad, y algunas operaciones la tendrán y otras no.
Otras operaciones que tienen conmutatividad
¿Es común la conmutatividad? Sí, bastante. Pero no todas las operaciones lo tienen. Incluso los comunes. Por ejemplo, la multiplicación de números es conmutativa. Esto, tenemos eso
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]para todos los números reales \(a\) y \(b\). Bien, ¿eso significa que la conmutatividad es válida para todas las operaciones comunes? No todo. Por ejemplo, ni la resta ni la división de números son conmutativas. De hecho, en general
\[\large a - b = \not b - a\]y la igualdad solo es válida cuando \(a = b\). Entonces, por ejemplo, \(3 - 1 = 2\) y \(1 - 3 = -2\) no son iguales. Entonces, la resta de números no es conmutativa. ¿Sorprendido? Bueno, ahora lo sabes.
Además, para la división tenemos que en general
\[\large a / b = \not b / a\]y la igualdad solo es válida cuando \(a = b\). Entonces, por ejemplo, \(6 / 3 = 2\) y \(3 / 6 = 1/2\) no son iguales. Entonces, la división de números no es conmutativa.
EJEMPLO 1
Considere la siguiente operación entre los números reales \(a\) y \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]¿Esta operación es conmutativa?
RESPONDER:
Dado que la suma y multiplicación de números reales es conmutativa, tenemos que
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]lo que implica que la operación \(\odot\) es conmutativa.
EJEMPLO 2
Ahora considere la siguiente operación entre los números reales \(a\) y \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]¿Esta operación es conmutativa?
RESPONDER:
Darse cuenta de
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]por lo que entonces
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]que no es cero en general. Por lo tanto, esto implica que la operación \(\odot\) ahora NO es conmutativa.
Más sobre la propiedad conmutativa de la suma
Entonces, la conmutatividad parece ser muy obvia para la suma de números y también para la multiplicación de números. Pero, ¿es válido para todas las operaciones que podamos imaginar? Respuesta rápida: Absolutamente no.
No es necesario ir demasiado lejos para encontrar ejemplos de operaciones que no sean conmutativas. Por ejemplo, consideremos la multiplicación de matrices. Puede que se sorprenda, pero la multiplicación de matrices NO es conmutativa.
En otras palabras, puede tener matrices \(A\) y \(B\) para las cuales \(A \cdot B = \not B \cdot A\). ¿No lo cree? Compruébalo: considera
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]Entonces en este caso tenemos que
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]y
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]lo que demuestra que NO es cierto en general que \(A \cdot B = B \cdot A\).
Puede leer más sobre el propiedad conmutativa y también sobre el propiedad asociativa . Estas dos propiedades son la piedra angular de la estructura de los números reales.