Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa es una de esas propiedades de las operaciones algebraicas a las que no nos preocupamos, porque generalmente se da por sentado. La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden de la operación entre dos operandos, y como no importa en qué orden los operamos, obtenemos el mismo resultado final de la operación.
La propiedad conmutativa es una de las piedras angulares del álgebra, y es algo que usamos todo el tiempo sin saberlo. Es incluso en nuestra mente sin saberlo, cuando usamos para obtener el "el orden de los factores no altera el producto".
En primer lugar, debemos comprender el concepto de funcionamiento. En términos matemáticos, una operación "\(\circ\)" es simplemente una forma de tomar dos elementos \(a\) y \(b\) en un determinado conjunto \(E\), y hacer "algo" con ellos para crear otro elemento \(c\) en el conjunto \(E\).
Entonces, cuando tomas dos elementos \(a\) y \(b\) en un conjunto, los operas con la operación "\(\circ\)" y obtienes \(c\). Escribe esto matemáticamente como \(a \circ b = c\).
Definición: Una operación \(\circ\) es conmutativa si para dos elementos cualesquiera \(a\) y \(b\) tenemos que
\[ a\circ b = b \circ a\]Tenga en cuenta que no todas las operaciones satisfacen esta propiedad conmutativa, aunque la mayoría de las operaciones comunes lo hacen, pero no todas. De hecho, la suma y la multiplicación satisfacen la propiedad conmutativa, pero la resta y la división no.
EJEMPLO 1
Muy que la resta común "\(-\)" no es conmutativa.
RESPONDER:
De hecho, consideremos los números: \(8\) y \(4\). Observa eso:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]mientras
\[ \large 4 - 8 = -4 \]Entonces, \(8 - 4\) no es igual a \(4 - 8\), lo que implica que la resta "\(-\)" no es conmutativa.
EJEMPLO 2
Definamos la siguiente operación:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]¿Esta operación es conmutativa?
RESPONDER:
Observa eso
\[ a \circ b = ab+a+b\]Por otro lado, también obtenemos que
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]porque tanto la suma como la multiplicación comunes son conmutativas. Entonces, podemos ver que \(a \circ b = b \circ a\). Por tanto, la operación "\(\circ\)" es conmutativa.
Más sobre conmutatividad
La conmutatividad es una propiedad que probablemente haya utilizado sin pensar muchas, muchas veces. Lo consigues desde los años de la escuela primaria, como una canción de cuna: "el orden de los factores no altera el producto". Y supongo que funciona porque se pega. Si te dijeron "la multiplicación es una operación conmutativa", y te apuesto a que se quedará menos.
Una cosa importante es no confundir asociatividad con conmutatividad. Cuando nos referimos a asociatividad, queremos decir que sea cual sea el par que operemos primero, no importa. Es decir no es el mísmo como diciendo que el orden de la operación no importa, que es propiedad de la asociatividad.
¿Por qué es importante la propiedad conmutativa?
los propiedad conmutativa Es muy importante porque permite un nivel de flexibilidad en el cálculo de operaciones que no tendría de otra manera. Hay estructuras matemáticas que no dependen de la conmutatividad, e incluso son operaciones comunes (como la resta y la división) que no la satisfacen. Entonces, la conmutatividad es una propiedad útil, pero no siempre se cumple.