La propiedad conmutativa es una de esas propiedades de las operaciones algebraicas a las que no nos preocupamos, porque generalmente se da por sentado. La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden de la operación entre dos operandos, y como no importa en qué orden los operamos, obtenemos el mismo resultado final de la operación.

La propiedad conmutativa es una de las piedras angulares del álgebra, y es algo que usamos todo el tiempo sin saberlo. Es incluso en nuestra mente sin saberlo, cuando usamos para obtener el "el orden de los factores no altera el producto".

En primer lugar, debemos comprender el concepto de funcionamiento. En términos matemáticos, una operación "$\circ$" es simplemente una forma de tomar dos elementos $a$ y $b$ en un determinado conjunto $E$, y hacer "algo" con ellos para crear otro elemento $c$ en el conjunto $E$.

Entonces, cuando tomas dos elementos $a$ y $b$ en un conjunto, los operas con la operación "$\circ$" y obtienes $c$. Escribe esto matemáticamente como $a \circ b = c$.

Definición: Una operación $\circ$ es conmutativa si para dos elementos cualesquiera $a$ y $b$ tenemos que

Tenga en cuenta que no todas las operaciones satisfacen esta propiedad conmutativa, aunque la mayoría de las operaciones comunes lo hacen, pero no todas. De hecho, la suma y la multiplicación satisfacen la propiedad conmutativa, pero la resta y la división no.

EJEMPLO 1

Muy que la resta común "$-$" no es conmutativa.

RESPONDER:

De hecho, consideremos los números: $8$ y $4$. Observa eso:

mientras

Entonces, $8 - 4$ no es igual a $4 - 8$, lo que implica que la resta "$-$" no es conmutativa.

EJEMPLO 2

Definamos la siguiente operación:

¿Esta operación es conmutativa?

RESPONDER:

Observa eso

Por otro lado, también obtenemos que

porque tanto la suma como la multiplicación comunes son conmutativas. Entonces, podemos ver que $a \circ b = b \circ a$. Por tanto, la operación "$\circ$" es conmutativa.