La propiedad asociativa es una de esas propiedades de las que no se habla mucho, porque se da por sentado y se usa todo el tiempo, sin saberlo. La propiedad asociativa tiene que ver con qué operandos procesamos primero cuando operamos más de dos operandos, y cómo no importa qué operandos operamos primero, en términos del resultado final de la operación.

La propiedad asociativa es un punto fundamental en Álgebra y es la base de la mayoría de las operaciones que realizamos a diario, incluso sin saberlo. Hacer álgebra sin la propiedad asociativa, aunque es posible, es bastante difícil. Hay estructuras en matemáticas en las que no se asume que la asociatividad sea cierta, pero son mucho más limitadas.

En el núcleo de la propiedad asociativa, primero debemos comprender la idea de operación. Sin ser demasiado técnico, una operación "\(\circ\)" es simplemente una forma de tomar dos elementos \(a\) y \(b\) en un determinado conjunto \(E\), y hacer "algo" con ellos para crear otro elemento \(c\) en el conjunto \(E\).

Entonces, toma \(a\) y \(b\), los opera y obtiene \(c\). Esta acción puede expresarse matemáticamente como \(a \circ b = c\).

Es importante observar que usted utilizó DOS elementos, \(a\) y \(b\), para obtener \(c\). Hago un énfasis de nuevo, operas DOS elementos, \(a\) y \(b\). Hasta ahora tan bueno. Entonces, pregunta, ¿qué pasa si quieres operar tres elementos? Bueno, no puedes, después de todas las operaciones toman DOS elementos, entonces, ¿qué harías con el tercero? ¿O puedes?

Bueno, ¿qué pasa si opera dos de ellos primero y luego opera el tercero con el resultado de operar los dos primeros elementos? Sí, eso se puede hacer. Entonces, digamos que tiene tres elementos \(a\), \(b\) y \(c\) y desea operarlos. Una forma es operar \(a\) y \(b\) primero, y luego operar el resultado de con \(c\). Eso sería \((a\circ b)\circ c\).

Observe el paréntesis allí. Está ahí por una razón. Al escribir \((a\circ b)\circ c\), está diciendo que está operando \(a\) y \(b\) primero, y LUEGO opera \(c\). Lo suficientemente justo. Parece una forma satisfactoria de operar \(a\), \(b\) y \(c\). ¿Pero es esa la única manera? ¿Qué pasa si opero \(b\) y \(c\) primero, y LUEGO opero \(a\) con el resultado de operar \(b\) y \(c\)? Lo escribirías como \(a\circ (b\circ c)\).

Ahora la gran pregunta: ¿es lo mismo si opero esos tres elementos de la manera que se muestra arriba? ¿Obtengo el mismo resultado final si opero los dos primeros y el resultado se opera con el tercero, o si opero el primer elemento con los resultados de operar los otros dos? O simplemente, \((a\circ b)\circ c\) es lo mismo que \(a\circ (b\circ c)\). Queridos amigos, la respuesta depende de si la operación es asociativa.

Definición: Una operación \(\circ\) es asociativa si para cualesquiera tres elementos \(a\), \(b\) y \(c\), tenemos que

No todas las operaciones satisfacen esta propiedad asociativa, la mayoría sí, pero algunas no. Las operaciones más comunes, las que conocemos, satisfacen la asociatividad, como la suma o la multiplicación.

EJEMPLO 1

Compruebe algunos números para convencerse de que se cumple la asociatividad para la suma común "\(+\)".

RESPONDEDOR:

Por ejemplo, consideraremos 3 números: \(8\), \(4\) y \(7\). Comprobemos si se cumple o no la asociatividad para estos datos. Darse cuenta de:

Por otro lado, tenemos que

Por lo tanto, en este caso \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).

La propiedad asociativa utilizada para definir operaciones con más de dos operandos

Entonces, no todas las operaciones son asociadas, pero la mayoría de las que conocemos lo son. Cuando se cumple la asociatividad, entonces podemos definir, sin ambigüedad, la operación de más de dos operandos. Para hacerlo más sencillo, simplemente escribimos \(a \circ b \circ c\), sin paréntesis porque debido a la propiedad de asociatividad, sabemos que no importa cómo agrupemos los operandos, obtendremos el mismo resultado final de la operación.

EJEMPLO 2

Definamos la siguiente operación:

¿Esta operación es asociativa?

RESPONDEDOR:

Darse cuenta de

Por otro lado, tenemos que

Por lo tanto, no siempre es cierto que \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). Por tanto, la operación "\(\circ\)" no es asociativa.