Calculadora de fórmula de distancia

La distancia entre dos puntos en el plano euclidiano es uno de los conceptos básicos en Geometría. Aunque no es un concepto estático o universal, ya que existen muchas medidas potenciales de "distancia" en matemáticas.

De hecho, diferentes tipos de geometría pueden utilizar diferentes tipos de distancias. Y todas esas geometrías, incluida la geometría euclidiana, definen distancias que son lógicas y consistentes, y mantienen todas las propiedades que se esperan para una distancia.

¿cómo se calcula la distancia?

Esta calculadora se basa en la distancia de la geometría euclidiana. Supongamos que tenemos dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\), entonces la fórmula de la distancia se calcula de la siguiente manera, usando la siguiente fórmula:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

Esta es comúnmente la fórmula de distancia entre dos puntos, que tiene la interpretación más común de ser la distancia física real que perciben nuestros sentidos.

¿por qué calculamos la distancia?

La distancia es una de las nociones geométricas más básicas que tenemos los humanos, y el concepto de distancia ha sido la base de muchas de las ideas de la Geometría, lo que a su vez da origen a las Matemáticas como disciplina.

Calcular distancias tiene que ver con muchas cosas de carácter práctico, como qué tan lejos están las cosas, especialmente cuando las cosas no están muy cerca, para lo cual una noción clara de distancia juega un papel crucial.

Explicación de la fórmula de distancia

La expresión anterior define cómo utilizar la fórmula para los dos puntos dados. Lo que se hace es simple: se restan el primer componente del punto 1 y el primer componente del punto 2, y el resultado se eleva al cuadrado.

Se hace lo mismo para el segundo punto: se restan el segundo componente del punto 1 y el segundo componente del punto 2, y el resultado se eleva al cuadrado. Estos dos valores al cuadrado se suman y se le toma raíz cuadrada al resultado. El número final que obtienes es la distancia.

¿cómo se resuelven los problemas de distancia?

No hay una respuesta única a esa pregunta, ya que los problemas de distancia pueden adoptar diferentes formas. Normalmente, se le darán dos puntos y se le pedirá que calcular la distancia . Este es posiblemente el tipo más fácil que encontrarás.

Pero luego puedes esforzarte tanto como quieras. Por ejemplo, le das a los círculos (con el correspondiente ecuaciones circulares ), y pregunte qué puntos de los círculos están a una cierta distancia fija dada \(D\). Un problema así es definitivamente más difícil que el anterior.

Las preguntas sobre fórmulas a distancia pueden presentarse en todas las formas y formas, y pueden ser tan difíciles como puedas imaginar. Por supuesto, en un curso básico probablemente sólo aplicarás la fórmula directamente.

¿cuál es un ejemplo de distancia?

Las distancias geométricas son los ejemplos más claros de distancias. Por ejemplo, si tienes un cuadrado de lado 2 que tiene su esquina inferior izquierda en el origen y desea calcular la distancia entre la esquina inferior izquierda y la esquina superior derecha, calcula:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

Hay otros ejemplos de distancia, con interpretación similar, a la distancia que se encuentra en Física. De hecho, están estrechamente relacionados, pero hay muchas sutilezas ahí mismo.

¿de qué manera esto se relaciona con la fórmula del punto medio?

El Fórmula del punto medio está estrechamente relacionado con la fórmula de la distancia, ya que el punto medio es un punto particular con la propiedad especial de que la distancia desde uno de los puntos hasta él es igual a la mitad de la distancia total.

Ejemplos

Supongamos que tenemos dos puntos \((1, 3)\) y \((4, 8)\), entonces la fórmula de la distancia se calcula de la siguiente manera:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

La raíz cuadrada sobre \(\sqrt 34\) no se puede simplificar más, así que la dejamos así. A veces, se le pedirá que proporcione una respuesta decimal aproximada, que en este caso sería \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \).

Más ejemplos

¿Cómo manejar la fórmula de la distancia con fracciones? Es toda la misma mecánica. Supongamos que tenemos dos puntos \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) y \((\frac{3}{5}, \frac{3}{4})\), entonces la fórmula de la distancia se calcula de la siguiente manera:

\[ D = \displaystyle \sqrt{ \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{50}} \approx 5.8310 \]

¿la distancia tiene que ser en dos dimensiones?

No necesariamente. En realidad podemos tener dos puntos en un espacio n-dimensional: \(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) y \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\). La distancia ahora se calcula elevando al cuadrado las diferencias de todos los componentes, sumándolas y sacando raíz cuadrada:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

¿la distancia tiene algo que ver con pitágoras?

¡Puedes apostar que sí! Como bien te dice tu intuición, la raíz cuadrada de la suma de cuadrados se parece mucho a la de la Teorema de pitágoras y también lo que haces cuando resolver triángulos .

Esto se debe a que estamos definiendo la distancia entre dos puntos en la forma pitagórica de la geometría, como el tamaño de la hipotenusa de un triángulo en el que los vértices están definidos por los puntos dados.

O alternativamente, puedes obtener esos dos puntos y calcular el punto medio .