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Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal es un límite superior, que puede imaginarse como una línea horizontal que establece un límite para el comportamiento de la gráfica de una función determinada. Esto significa que la gráfica de la función \(f(x)\) se acerca a esta línea horizontal, a medida que aumenta el valor de \(x\).

Comprender este comportamiento horizontal limitante de las funciones que presentan esta característica puede resultar muy útil en determinadas circunstancias, ya que indicará que el comportamiento de la función es algo parecido al de una línea horizontal para valores grandes de \(x\).

Para aclarar la definición, una línea horizontal \(y = h\) es una asíntota horizontal de la función \(f(x)\) si

\[\large \lim_{x\to\infty} f(x) = h\]

si es que el límite anterior existe y es finito. Para aquellos que aún no han pasado por una clase de cálculo, la línea horizontal \(y = h\) es una asíntota horizontal de la función \(f(x)\) cuando \(h\) es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca al infinito. ¿Qué significa ser un "límite"? Significa que para valores suficientemente grandes de \(x\), el valor de \(f(x)\) será tan cercano a \(h\) como predeterminemos. Fantastico, ¿verdad?

EJEMPLO 1

Encuentra una asíntota horizontal para la función

\[ \large f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} \]

RESPONDER:

Para encontrar la asíntota horizontal, necesitamos encontrar el límite de la función \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca al infinito. Si no está familiarizado con Cálculo, primero debe intentar evaluar la función con un valor muy grande de \(x\). Por ejemplo, digamos que \(x = 1,000,000\). Inserte este número en la función:

\[ \large f(1,000,000) = \frac{1,000,000^2}{1,000,000^2+1} = \frac{1,000,000,000,000}{1,000,000,000,000+1}\] \[ = \frac{1,000,000,000,000}{1,000,000,000,001} = 0.999999999999 \]

que está muy cerca de 1. Entonces uno podría sospechar que el límite es 1. De hecho, resulta que cuando \(x\) es grande, el valor de \(x^2\) es tan grande con respecto a 1, que \(x^2\) es muy similar a \(x^2 + 1\) en menos en términos relativos. Entonces tenemos, al dividir numerador y denominador por \(x^2\):

\[ \large f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \rightarrow \frac{1}{1+0} = 1 \]

porque \(\frac{1}{x^2}\) se acerca a 0 cuando \(x\) se acerca al infinito. Por tanto, no es difícil probar ni convencerse de que

\[\large \lim_{x\to\infty} f(x) =\large \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2+1} = 1\]

lo que significa que la asíntota horizontal es \(y = 1\). Ahora, tenga cuidado con su respuesta si está respondiendo un examen o tarea. Algunas personas dirán "la asíntota horizontal es 1", lo cual es incorrecto. Técnicamente, la asíntota horizontal es la función \(y = 1\), y NO el número 1. La asíntota horizontal es una función que es constante, que no es lo mismo que un número. Solo digo, porque hay algunos profesores quisquillosos.

EJEMPLO 2

Encuentre una asíntota horizontal, si existe para la función

\[ \large f(x) = \frac{x^3}{x^2+1} \]

RESPONDER:

Dividiendo numerador y denominador por \(x^2\):

\[ \large f(x) = \frac{x}{1+\frac{1}{x^2}} \]

¡Pero espera! ¿El truco no funcionó aquí? Sí lo hizo. Observe que el denominador se acercará mucho a 1 a medida que \(x\) se vuelva muy grande y el numerador se volverá muy grande. No es difícil creer que \(f(x)\) converge al infinito, por lo que no hay una asíntota horizontal. Cada vez que vemos una función que no está acotada, como es el caso de \(f(x)\) en este ejemplo, no tendremos una asíntota horizontal.

¿Asíntota horizontal o asíntotas horizontales?

Técnicamente, podría haber dos asíntotas horizontales, una a la izquierda y otra a la derecha. La asíntota horizontal izquierda es \(y = h_L\) si

\[\large \lim_{x \to -\infty} f(x) = h_L\]

De manera similar, la asíntota horizontal derecha es \(y = h_R\) si

\[\large \lim_{x \to +\infty} f(x) = h_R\]

en caso de que exista alguno de los límites anteriores, y sean finitos. Puede suceder que una función tenga dos asíntotas horizontales, solo tenga una asíntota horizontal o no tenga ninguna.

Por ejemplo, en el gráfico anterior, hay dos asíntotas horizontales, \(y = -2\) y \(y = 2\).

¿Cuál es la regla para encontrar la asíntota horizontal?

No hay reglas generales que funcionen para todos los casos. En el caso general, necesitamos calcular el límite cuando \(x\) se acerca a \(-\infty\), y el límite cuando \(x\) se acerca a \(+\infty\). Si alguno de esos límites existe y es finito, tendremos las asíntotas horizontales.

Puede idearse una regla específica para el caso de que la función dada \(f(x)\) sea el cociente de dos polinomios. Si ese es el caso, supongamos que \(m\) es el orden del polinomio en el numerador y \(n\) es el orden del polinomio en el denominador. Entonces tenemos los siguientes casos:

Caso 1: Si \(m < n\), entonces la asíntota horizontal es \(y = 0\).

Caso 2: Si \(m = n\) y \(a\) es el coeficiente principal del polinomio en el numerador, y \(b\) es el coeficiente principal del polinomio en el denominador, entonces la asíntota horizontal es \(\displaystyle y = \frac{a}{b}\).

Caso 3: Si \(m > n\), entonces no hay asíntota horizontal.

EJEMPLO 2

Encuentre, si existe, la asíntota horizontal de la función

\[\large f(x) = \frac{3x^2+2x-1}{2x^2 -x+2}\]

RESPONDER:

La función consta del cociente de dos polinomios. El polinomio en el numerador es \(3x^2+2x-1\), que es un polinomio de orden 2, entonces \(m = 2\) y el coeficientes principal es 3. El polinomio en el denominador es \(2x^2 -x+2\), que es un polinomio de orden 2, entonces \(n = 2\) y el coeficientes principal es 2.

Por lo tanto, dado que en este caso \(m = n\), hay una asíntota horizontal, y es el cociente de los coeficientes principales, entonces, en este caso, la asíntota horizontal es

\[\large y = \frac{3}{2}\]

Más acerca de las asíntotas horizontales

Entonces, tu pregunta es cómo hallar las asíntotas de una ecuación, ¿verdad? En primer lugar, encuentra asíntotas de una función , no de una ecuación. Luego, debes comenzar con la definición general, utilizando límites.

Si no sabe Cálculo y no sabe cómo calcular los límites, entonces al menos debería intentar evaluar valores muy grandes de \(x\), y también valores muy negativos de \(x\) en la función, y ver cómo se comporta la función. Incluso trazar la función con algún software puede darte una pista clara si hay asíntotas horizontales.

En última instancia, en el caso muy restringido en el que la función es un cociente de polinomios, puede aplicar la regla en función de los órdenes \(m\) y \(n\).