Was ist die Quadratwurzel von 64?


Manchmal hat eine einfache Frage wie die Quadratwurzel von 64 eine Antwort, die einige verwirren kann. In diesem Fall werden wir einige Mythen zerstreuen.

Das Hauptziel dieses Tutorials ist es, ein paar Dinge über Quadratwurzeln und Radikale zu lernen, damit Sie ohne zu zögern Fragen dazu beantworten können.

Wurzel von 64

Das Erste ist das Erste. Lassen Sie uns die Definition der Quadratwurzel formulieren:

Die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl ist die positiv Zahl (oder Null), so dass im Quadrat die angegebene Zahl entsteht .

Das ist es. Wenn also eine Zahl xx gegeben ist, ist ihre Quadratwurzel eine Zahl bb, so dass b0b \ge 0 und

b2=xb^2 = x

Wenn wir uns den obigen Ausdruck ansehen, können wir sehen, dass, wenn bb die Quadratwurzel von xx sein wird, x=b2x = b^2, und da eine Quadratzahl nicht negativ sein kann, kann xx nur nicht negativ sein (wenn wir in der Lage sein wollen finde seine Quadratwurzel).

Fazit : Wir können nur Quadratwurzeln nicht negativer Werte xx berechnen. Oder anders gesagt, die Domäne der Funktion x\sqrt x ist [0,+)[0,+\infty).

Beantworten Sie also unsere erste Frage: Was ist die Quadratwurzel von 64?

Basierend auf dem, was wir definiert haben, müssen wir einen nicht negativen Wert bb finden, damit b2=64b^2 = 64. Gibt es eine Zahl, die diese Eigenschaften erfüllt?

Ja, was wäre, wenn wir es mit b=8b = 8 versuchen würden? Ok, also b=8b = 8 ist nicht negativ und b2=82=64b^2 = 8^2 = 64.

Wir haben also die Quadratwurzel von 64 gefunden, die 8 ist, weil 8 nicht negativ ist, und 82=648^2 = 64. Wir schreiben dies als:

64=8 \sqrt{64} = 8

Der Mythos über die Quadratwurzelfunktion

Nun gehen wir zu dem Thema, das dieses Tutorial motiviert hat ... Die obige Definition der Quadratwurzel ermöglicht es uns, die allgemeine Aussage zu verwerfen, dass "die Quadratwurzel von 64 plus oder minus 8 ist", was falsch ist. Tatsächlich

64=±̸8\sqrt{64} =\not \pm 8

Jetzt können wir verstehen, warum solch ein Mythos weitergeht. In der Tat haben sowohl 8 als auch -8 die Eigenschaft 82=648^2 = 64 und (8)2=64(-8)^2 = 64. Warum ist -8 dann NICHT die Quadratwurzel von 64?

Denn per Definition haben wir gesagt, dass die Quadratwurzel die nicht negative Zahl sein muss, die die Eigenschaft hat, dass sie im Quadrat der angegebenen Zahl entspricht. Und -8 verfehlt die Bedingung, nicht negativ zu sein.

Der Graph der Quadratwurzelfunktion

Schauen Sie sich das Diagramm der Quadratwurzelfunktion unten an:

Quadratwurzelfunktion

Wie Sie sehen können, nimmt diese Funktion nur nicht negative Werte an und besteht tatsächlich den vertikalen Linientest, sodass es sich um eine Funktion handelt.

Am Ende macht die Definition der Quadratwurzel als nicht negatives bb, so dass b2=xb^2 = x die Quadratwurzel zu einer Funktion macht.

Wenn wir tatsächlich 64=±8\sqrt{64} = \pm 8 hätten, wäre x\sqrt x keine Funktion, sondern eine Beziehung, da die vertikale Linie bei x=64x = 64 den Graphen zweimal kreuzen würde (bei 8 und -8).

Was ist mit anderen radikalen Funktionen?

Es gibt andere Arten radikaler Funktionen. Zum Beispiel die Kubikwurzel x3\sqrt[3] x. In diesem Fall muss keine Regel für die Auswahl des Radikals festgelegt werden, da die Kubikwurzel einer bestimmten Zahl xx die Zahl bb ist, sodass b3=xb^3 = x.

Kubikwurzel

Für den Kubikwurzelfall müssen keine Unterscheidungen getroffen werden, da für ein bestimmtes xx nur EINE Nummer bb vorhanden ist, sodass b3=xb^3 = x.

Beispielsweise

643=4\sqrt[3]{64} = 4

einfach weil 43=644^3 = 64. Oder

643=4\sqrt[3]{-64} = -4

einfach weil (4)3=64(-4)^3 = -64. Dies bedeutet, dass es keine Mehrdeutigkeit wie im Fall der Quadratwurzel gibt.

Quarzwurzel

Für den Fall der Quartic Root ist es der Quadratwurzel ähnlich. Wir werden das x4=b\sqrt[4] x = b haben, wenn b0b \ge 0 und b4=xb^4 = x.

Beispielsweise

164=2\sqrt[4]{16} = 2

weil 24=162^4 = 16 und 202 \ge 0. Aber

164=−̸2\sqrt[4]{16} =\not -2

denn obwohl (2)4=16(-2)^4 = -16, haben wir das 2<0-2 < 0, so dass dann die Nicht-Negativitätsbedingung nicht erfüllt ist.

Wie wäre es mit der n-ten Wurzel xn\sqrt[n] x im Allgemeinen ???.

Ich bin sicher, Sie haben es erraten.

Für nn ist die Situation wie bei der Quadratwurzel: xn=b\sqrt[n] x = b wenn b0b \ge 0 und bn=xb^n = x.

Für nn ungerade ist die Situation wie die Quadratwurzel: xn=b\sqrt[n] x = b wenn bn=xb^n = x.


Mehr zur Berechnung der Quadratwurzel

Eine Sache, auf die wir Wert gelegt haben, war, dass die Quadratwurzelfunktion x\sqrt x ein nicht negatives Argument xx annehmen muss, wenn wir die Quadratwurzel berechnen wollen.

Wir haben dort ein wenig geschummelt, weil wir nicht den ganzen Satz geschrieben haben: Die Quadratwurzelfunktion x\sqrt x muss ein nicht negatives Argument xx annehmen, wenn wir die Quadratwurzel in der REAL LINE berechnen wollen.

ABER wenn x<0x < 0, dh wenn xx negativ ist, dann ist x\sqrt x immer noch definiert, jedoch nicht als reelle Zahl, sondern als komplexe Zahl.

Die Grundeinheit der komplexen Quadratwurzel ist die Quadratwurzel von -1. Was ist 1\sqrt{-1}???

Geben Sie die komplexen Zahlen ein: Es gibt eine komplexe Zahl namens ii, damit

1=i\sqrt{-1} = i

Ab diesem Zeitpunkt funktionieren die Eigenschaften der Quadratwurzel gleich. Beispielsweise:

4=41=21=2i\sqrt{-4} = \sqrt{4} \sqrt{-1} = 2\sqrt{-1} = 2i

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