Radikale vereinfachen
Algebraische Ausdrücke, die Radikale enthalten, sind sehr häufig, und es ist wichtig zu wissen, wie man richtig damit umgeht. Die erste Regel, die wir lernen müssen, ist, dass Radikale IMMER in Kräfte umgewandelt werden können, und darum geht es in diesem Tutorial.
In diesem Tutorial lernen wir, wie man Radikale vereinfacht.
In der Tat beschäftigen wir uns ständig mit Radikalen, insbesondere mit \(\sqrt x\). Eine Sache, über die wir vielleicht nicht aufhören zu denken, ist, dass Radikale in Bezug auf Kräfte ausgedrückt werden können.
Wie mache ich das? Hör zu. Beginnen wir zuerst mit \(\sqrt x\):
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
Warum sollten wir uns also darüber freuen, dass Radikale in Bezug auf Kräfte eingesetzt werden können?
Die Antwort ist einfach: Weil wir die Regeln, die wir bereits kennen, für Befugnisse verwenden können, um die Regeln für Radikale abzuleiten.
Zum Beispiel sei \(x, y\ge 0\) zwei nicht negative Zahlen. Eine Regel, die für Radikale gilt, ist
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]Woher wissen wir? Nun, einfach mit Regel 6 der Exponenten und die Definition von Radikal als Macht. Hör zu:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]BEISPIEL 1: Vereinfachen Sie den folgenden radikalen Ausdruck:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]ANTWORTEN:
Basierend auf dem gegebenen Ausdruck können wir die Elemente innerhalb des Radikals umschreiben, um zu erhalten
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]Regeln der Radikale
Es gibt Regeln für den Betrieb von Radikalen, die viel mit den Exponentialregeln zu tun haben (natürlich, weil wir gerade gesehen haben, dass Radikale als Potenzen ausgedrückt werden können, wird erwartet, dass ähnliche Regeln gelten).
Regel 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
Regel 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Regel 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
Höchstwahrscheinlich haben Sie auf die eine oder andere Weise mit diesen Regeln gearbeitet und manchmal sogar nicht gewusst, dass Sie sie verwendet haben.
Eine besondere Erwähnung ist auf die erste Regel zurückzuführen. Oft werden Sie sehen (oder sogar Ihr Lehrer wird es Ihnen sagen), dass \(\sqrt{x^2} = x\) mit dem Argument, dass die "Wurzel das Quadrat vernichtet". Bis zu einem gewissen Grad ist diese Aussage korrekt, aber es ist nicht wahr, dass \(\sqrt{x^2} = x\). In der Tat können wir ein Gegenbeispiel geben: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\). In diesem Fall also \(\sqrt{x^2} = -x\).
In Wirklichkeit passiert das \(\sqrt{x^2} = |x|\). Dies ist der Fall, wenn wir \(\sqrt{(-3)^2} = 3\) erhalten, weil \(|-3| = 3\).
BEISPIEL 2
Vereinfachen Sie den folgenden radikalen Ausdruck:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]ANTWORTEN:
Hier müssen einige Dinge getan werden. Zuerst sehen wir, dass dies die Quadratwurzel eines Bruchs ist, also können wir Regel 3 verwenden. Dann gibt es negative Potenzen, die transformiert werden können.
Konkret können wir \(y^{-2}\) im Nenner als \(y^2\) zum Zähler bringen. Dann können wir einige Kräfte vereinfachen. So erhalten wir:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]Weitere Informationen zur Vereinfachung von Radikalen
Beachten Sie, dass wir Regeln für Radikale analysiert und darüber gesprochen haben, aber nur die Quadratwurzel \(\sqrt x\) berücksichtigen. Die Frage ist, gelten die gleichen Regeln für andere Radikale (die nicht die Quadratwurzel sind)? Kurze Antwort: Ja
Um eine vollständige Diskussion über Radikale zu haben, müssen wir Radikale im Allgemeinen anhand der folgenden Definition definieren:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]Mit dieser Definition haben wir die folgenden Regeln:
Regel 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), wenn \(n\) ungerade ist.
Regel 1.2: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = |x|\), wenn \(n\) gerade ist.
Regel 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
Regel 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)