Weitere Informationen zur Stichprobenverteilung des Stichprobenanteils

Der Stichprobenanteil ist definiert als \(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \), wobei \(X\) die Anzahl der günstigen Fälle und \(n\) die Stichprobengröße ist. Diese Situation kann als \(n\) aufeinanderfolgende Bernoulli-Versuche \(X_i\) verstanden werden, so dass \(\Pr(X_i = 1) = p\) und \(\Pr(X_i = 0) = 1-p\). In diesem Zusammenhang beträgt die Anzahl der günstigen Fälle \(\displaystyle sum_{i=1}^n X_i\), und der Stichprobenanteil \(\hat p\) wird durch Mittelung von \(X_1, X_2, ...., X_n\) erhalten. Dies zeigt an, dass wir, wenn die Stichprobengröße groß genug ist, die normale Näherung gemäß dem zentralen Grenzwertsatz verwenden können.

Der Mittelwert und der Standardfehler des Stichprobenanteils sind:

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Wenn also die Stichprobengröße groß genug ist und \(np \geq 10\) und \(n(1-p) \geq 10\), können wir die Wahrscheinlichkeit \(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\) durch approximieren

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

Es ist üblich, einen Kontinuitätskorrekturfaktor \(cf = \frac{0.5}{n}\) anzuwenden, um die Tatsache zu kompensieren, dass die zugrunde liegende Verteilung diskret ist, insbesondere wenn die Stichprobengröße nicht ausreichend groß ist. Wenn Sie nach der Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts suchen, verwenden Sie dieser Rechner stattdessen