Die stichprobenvarianz

Die Stichprobenvarianz \(s^2\) ist eine der gängigsten Methoden zur Messung der Streuung einer Verteilung. Bei einer Stichprobe der Daten \(X_1, X_2, ...., X_n\) misst die Stichprobenvarianz die Streuung der Stichprobenwerte im Verhältnis zum Stichprobenmittelwert.

Wie berechnen sie die stichprobenvarianz?

Genauer gesagt wird die Stichprobenvarianz wie in der folgenden Formel dargestellt berechnet:

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

Die obige Formel hat die Summe der Quadrate \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \)oben und die Anzahl der Freiheitsgrade \(n-1\) unten.

Die Anwendung der obigen Formel ist einfach:

• Sie legen eine Tabelle mit einer Spalte für die angegebenen Daten fest \(X_i\)
• Sie berechnen den Stichprobenmittelwert \(\bar X\)
• Tragen Sie den Stichprobenmittelwert in eine Spalte neben den \(X_i\)-Daten ein (tragen Sie den Stichprobenmittelwert neben JEDEN Term der Stichprobe ein)
• Erstellen Sie eine Spalte, in der Sie die Subtraktion der Stichprobendaten und des Stichprobenmittelwerts berechnen: \(X_i - \bar X\)
• Konstruieren Sie eine Spalte, in der Sie das Quadrat der vorherigen Spalte berechnen: (\(X_i - \bar X\))^2
• Addieren Sie die Werte dieser letzten Spalte
• Teilen Sie das gefundene Ergebnis durch \(n-1\).

Wie berechnet man die stichprobenvarianz mit excel?

Beachten Sie, dass Sie Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert \(\bar X\) zuerst, um die obige Formel zu verwenden. Sie können die Varianz mit Excel berechnen, indem Sie =VAR() Funktion, aber unser Vorteil ist, dass es sich um einen Varianzrechner mit Schritten handelt. Beachten Sie außerdem, dass Sie die Standardabweichung der Stichprobe erhalten, wenn Sie die Quadratwurzel der Varianz ziehen.

Eine operativere form

Die Leute beschweren sich, dass sie zur Berechnung der Varianz zuerst den Stichprobenmittelwert berechnen müssen und danach die Abweichungen usw. Gibt es aber eine Möglichkeit, die Stichprobenvarianz sofort zu berechnen, ohne den Stichprobenmittelwert zu berechnen?

Darauf können Sie wetten. Oftmals denken die Leute, sie müssten die Mittelwert- und Varianzformel zwingend, aber das ist nicht der Fall. Unten können Sie überprüfen, wie Sie die Stichprobenvarianz direkt berechnen können, ohne den Stichprobenmittelwert zu berechnen

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

Gründe, warum die stichprobenvarianz nützlich ist

• Bei großen Stichproben ist die Stichprobenvarianz ein guter Schätzwert für die Populationsvarianz

Deskriptive statistik-rechner, die sie möglicherweise benötigen

Wenn Sie stattdessen eine schrittweise Berechnung aller deskriptiven Statistiken wünschen, können Sie unser Beschreibender Statistikrechner , das Ihnen die gängigsten beschreibenden Statistiken mit Maßen für die zentrale Tendenz und Streuung liefert und alle Schritte der Berechnung zeigt.

Wenn Sie sich für die relative Streuung im Gegensatz zur absoluten Streuung interessieren, können Sie auch unsere Rechner für den Variationskoeffizienten , was Ihnen sagt, wie groß die Streuung ist relativ zum Mittelwert Warum ist das so? Weil die Standardabweichung die absolute Streuung darstellt. Wie groß die Streuung ist, ist jedoch nur im Verhältnis zum Mittelwert relevant.

Anwendungsbeispiel

Frage : Berechnen Sie die Stichprobenvarianz für die gegebenen Stichprobendaten: 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18.

Lösung:

Wir müssen die Stichprobenvarianz berechnen. Dies sind die bereitgestellten Beispieldaten:

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

Nun müssen wir alle Stichprobenwerte quadrieren, wie in der folgenden Tabelle gezeigt:

Beobachtung:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

Daher wird die Stichprobenvarianz wie folgt berechnet:

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

Basierend auf den bereitgestellten Daten beträgt die Stichprobenvarianz daher \(s^2 = 22.8625 \).