Konfidenzintervall für die mittlere antwort

Das Konfidenzintervall für die mittlere Antwort im Kontext einer Lineare Regression entspricht dem berechneten Konfidenzintervall für die mittlere vorhergesagte Antwort \(\mu_{Y|X_0}\) für einen gegebenen Wert \(X = X_0\).

Dieses Konfidenzintervall gibt uns also einen glaubwürdigen Satz, in dem wir die durchschnittliche Antwort \(Y\) für einen festen Prädiktorwert \(X = X_0\) erwarten

Wie berechnet man dieses konfidenzintervall

Zuerst müssen wir den mittleren quadrierten Fehler (\(\hat{\sigma}^2\)) kennen, für den Sie die folgende Formel verwenden:

\[\hat{\sigma}^2 = \displaystyle \frac{SSE}{n-2}\]

Der mittlere quadrierte Fehler ist eine Art Standardfehler, der Ihnen die Variabilität der Antwortvariablen für verschiedene Zeitpunkte angibt, die Sie bei \(X = X_0\) auswerten, und er wird als Grundlage für das Konfidenzintervall verwendet.

Mit anderen Worten, dieser Standardfehler spielt die gleiche Rolle wie der Standardabweichung spielt auf dem Berechnung des Konfidenzintervalls für den Mittelwert \(\mu\).

Formel für das konfidenzintervall formel für die mittlere antwort

Ok, wir haben jetzt alles, was wir brauchen, also gehen wir zur Formel für das Konfidenzintervall: Basierend auf diesen Informationen wird das \(1-\alpha)\times 100 \)%-Konfidenzintervall für die mittlere Antwort \(\mu_{Y|X_0}\) wie folgt angegeben:

\[CI = \displaystyle \left( \hat\mu_{Y|X_0} - t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) }, \hat\mu_{Y|X_0} + t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) } \right)\]

Wie bei den meisten Konfidenzintervallen (aber nicht allen) ist das Intervall symmetrisch um einen Mittelpunkt, der in diesem Fall der eigentliche vorhergesagter Y-Wert für \(X = X_0\).

Dieser Mittelwert des Konfidenzintervalls wird ermittelt, indem einfach der Wert von \(X = X_0\) in das geschätzte Regressionsmodell eingesetzt wird.

Weitere regressionsrechner

Wichtig zu beachten ist, dass wir hier gezeigt haben, wie man das Konfidenzintervall der mittleren Antwort der Regressionsvorhersage berechnet. Wenn Sie eher an einem Konfidenzintervall für die Vorhersage selbst interessiert sind, verwenden Sie stattdessen Folgendes: Vorhersageintervallrechner für Regressionsvorhersagen .

Wenn wir über Regression sprechen, können Sie dies natürlich überprüfen Linearer Regressionsrechner für den Fall, dass Sie einen Prädiktor haben, oder diesen Mehrfacher linearer Regressionsrechner wenn Sie viele Prädiktoren haben.

Eine interessante Anwendung ist der Fall der Polynomregression , bei der es eine abhängige Variable Y und einen Prädiktor X gibt, aber tatsächlich verwenden wir auch die Potenzen von X als Prädiktoren, sodass es technisch gesehen eine multiple Regression ist.

Die Regressionsanalyse ist in der Statistik wirklich wichtig, und wir können ihre Bedeutung nicht wirklich überbewerten. Nun ist es entscheidend sicherzustellen, dass die gefundenen Regressionsergebnisse gültig sind. Aus diesem Grund ist es sehr ratsam, Analysieren Sie die Regressionsresiduen , da sie zum Zeitpunkt der Beurteilung, ob die Regressionsannahmen erfüllt sind, von entscheidender Bedeutung sind.