Kommutative Eigenschaft der Addition
Die kommutative Eigenschaft der Addition ist eine der entscheidenden Annahmen in Bezug auf Mathematik, die Sie wahrscheinlich als selbstverständlich betrachten und die ganze Zeit verwenden, ohne es zu wissen.
Die Idee der Kommutativität dreht sich um die Reihenfolge einer Operation. Die Frage ist, habe ich das
\[\large a + b = b + a\]für eine beliebige Anzahl \(a\) und \(b\)? Für Sie mag das eine dumme Frage sein. Wie "was meinst du natürlich". Die Kommutativität gilt jedoch nicht für ALLE Operationen. Aber es trifft zufällig auf die übliche Addition von Zahlen zu.
Gibt es einen Beweis für die Kommutativität der Addition? Technisch nein, denn es ist eher ein Axiom für die reellen Zahlen als algebraisches Feld.
Wenn man jedoch versteht, wie Addition funktioniert, kann man leicht zustimmen, dass Kommutativität Sinn macht, und daher nehmen wir das Axiom an.
Zum Beispiel macht es Sinn, zu glauben, dass \(3 + 4\) dasselbe ist wie \(4 + 3\). Warum ist das das? Aufgrund der Art und Weise, wie wir die Addition in unseren Gedanken durchführen: Es ist wie die Zählung 3 (z. B. mit den Fingern) und dann zählen wir 4.
Wir begründen also, dass wir am Ende die gleiche Anzahl von Fingern zählen würden, selbst wenn wir 4 zuerst und 3 Sekunden zählen würden.
Das ist eine gute Sichtweise. Und das Take-Home-Konzept daraus ist, dass Kommutativität NICHT gewährt wird und einige Operationen sie haben und andere nicht.
Andere Operationen, die Kommutativität haben
Ist Kommutativität üblich? Ja so ziemlich. Aber nicht alle Operationen haben es. Sogar die üblichen. Zum Beispiel ist die Multiplikation von Zahlen kommutativ. Das haben wir
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]für alle reellen Zahlen \(a\) und \(b\). Schön, das heißt also, dass die Kommutativität für alle gängigen Operationen gilt? Nicht alle. Zum Beispiel sind weder die Subtraktion noch die Division von Zahlen kommutativ. In der Tat im Allgemeinen
\[\large a - b = \not b - a\]und die Gleichheit gilt nur, wenn \(a = b\). So sind beispielsweise \(3 - 1 = 2\) und \(1 - 3 = -2\) nicht gleich. Die Subtraktion von Zahlen ist also nicht kommutativ. Überrascht? Nun, jetzt weißt du es.
Auch für die Division haben wir das im Allgemeinen
\[\large a / b = \not b / a\]und die Gleichheit gilt nur, wenn \(a = b\). So sind beispielsweise \(6 / 3 = 2\) und \(3 / 6 = 1/2\) nicht gleich. Die Aufteilung der Zahlen ist also nicht kommutativ.
BEISPIEL 1
Betrachten Sie die folgende Operation zwischen reellen Zahlen \(a\) und \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]Ist diese Operation kommutativ?
ANTWORTEN:
Da die Addition und Multiplikation von reellen Zahlen kommutativ ist, haben wir das
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]was bedeutet, dass die Operation \(\odot\) kommutativ ist.
BEISPIEL 2
Betrachten Sie nun die folgende Operation zwischen reellen Zahlen \(a\) und \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]Ist diese Operation kommutativ?
ANTWORTEN:
Beachte das
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]also dann
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]das ist im Allgemeinen nicht Null. Dies bedeutet also, dass die Operation \(\odot\) jetzt NICHT kommutativ ist.
Weitere Informationen zur kommutativen Eigenschaft der Addition
Die Kommutativität scheint also für die Addition von Zahlen und auch für die Multiplikation von Zahlen sehr offensichtlich zu sein. Aber gilt es für alle Operationen, die wir uns vorstellen können? Schnelle Antwort: Auf keinen Fall.
Wir müssen nicht zu weit gehen, um Beispiele für Operationen zu finden, die nicht kommutativ sind. Betrachten wir zum Beispiel die Multiplikation von Matrizen. Sie werden vielleicht überrascht sein, aber die Multiplikation von Matrizen ist NICHT kommutativ.
Mit anderen Worten, Sie können Matrizen \(A\) und \(B\) haben, für die \(A \cdot B = \not B \cdot A\). Glaubst du es nicht? Probieren Sie es aus: Überlegen Sie
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]Dann haben wir in diesem Fall das
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]und
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]was zeigt, dass es im Allgemeinen NICHT wahr ist, dass \(A \cdot B = B \cdot A\).
Sie können mehr über die lesen Kommutativgesetz und auch über die assoziatives Eigentum . Diese beiden Eigenschaften bilden die Grundlage der Struktur für reelle Zahlen.