Kommutativgesetz
Die kommutative Eigenschaft ist eine der Eigenschaften algebraischer Operationen, nach denen wir kein Auge haben, da sie normalerweise als selbstverständlich angesehen wird. Die kommutative Eigenschaft hat mit der Reihenfolge der Operation zwischen zwei Operanden zu tun, und da es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge wir sie betreiben, erhalten wir das gleiche Endergebnis der Operation.
Die kommutative Eigenschaft ist einer der Eckpfeiler der Algebra, und wir verwenden sie ständig, ohne es zu wissen. Es ist sogar in unseren Köpfen ohne zu wissen, wann wir verwenden, um die "Reihenfolge der Faktoren ändert das Produkt nicht".
Zunächst müssen wir das Konzept des Betriebs verstehen. In mathematischen Begriffen ist eine Operation "\(\circ\)" einfach eine Möglichkeit, zwei Elemente \(a\) und \(b\) für eine bestimmte Menge \(E\) zu verwenden und "etwas" mit ihnen zu tun, um ein weiteres Element \(c\) in der Menge \(E\) zu erstellen.
Wenn Sie also zwei Elemente \(a\) und \(b\) in einer Menge nehmen, bedienen Sie sie mit der Operation "\(\circ\)" und erhalten \(c\). Sie schreiben dies mathematisch als \(a \circ b = c\).
Definition: Eine Operation \(\circ\) ist kommutativ, wenn wir diese für zwei beliebige Elemente \(a\) und \(b\) haben
\[ a\circ b = b \circ a\]Beachten Sie, dass nicht alle Operationen diese kommutative Eigenschaft erfüllen, obwohl die meisten allgemeinen Operationen dies tun, aber nicht alle. In der Tat erfüllen Addition und Multiplikation die kommutative Eigenschaft, Subtraktion und Division jedoch nicht.
BEISPIEL 1
Sehr, dass die übliche Subtraktion "\(-\)" nicht kommutativ ist.
ANTWORTEN:
Betrachten wir in der Tat die Zahlen: \(8\) und \(4\). Beachten Sie Folgendes:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]wohingegen
\[ \large 4 - 8 = -4 \]Dann ist \(8 - 4\) nicht gleich \(4 - 8\), was bedeutet, dass die Subtraktion "\(-\)" nicht kommutativ ist.
BEISPIEL 2
Definieren wir die folgende Operation:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]Ist diese Operation kommutativ?
ANTWORTEN:
Beachten Sie das
\[ a \circ b = ab+a+b\]Auf der anderen Seite bekommen wir das auch
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]weil sowohl die gemeinsame Addition als auch die Multiplikation kommutativ sind. Dann können wir sehen, dass \(a \circ b = b \circ a\). Daher ist die Operation "\(\circ\)" kommutativ.
Mehr zur Kommutativität
Kommutativität ist eine Eigenschaft, die Sie wahrscheinlich verwendet haben, ohne viele, viele Male darüber nachzudenken. Sie bekommen es seit Ihrer Grundschulzeit wie ein Wiegenlied: "Die Reihenfolge der Faktoren verändert das Produkt nicht". Und ich denke, es funktioniert, weil es klebt. Wenn sie dir sagten "die Multiplikation ist eine kommutative Operation", und ich wette, es wird weniger bleiben.
Eine wichtige Sache ist, nicht zu verwirren Verständnisativität mit Kommutativität. Wenn wir uns auf Assoziativität beziehen, meinen wir, dass es keine Rolle spielt, welches Paar wir zuerst operieren. Das ist nicht das gleiche als zu sagen, dass die Reihenfolge der Operation keine Rolle spielt, was die Eigenschaft der Assoziativität ist.
Warum ist die kommutative Eigenschaft wichtig?
Das Kommutativgesetz ist sehr wichtig, da es ein Maß an Flexibilität bei der Berechnung von Operationen ermöglicht, das Sie sonst nicht hätten. Es gibt mathematische Strukturen, die nicht auf Kommutativität beruhen, und es handelt sich sogar um übliche Operationen (wie Subtraktion und Division), die diese nicht erfüllen. Kommutativität ist also eine nützliche Eigenschaft, die jedoch nicht immer erfüllt wird.