Die assoziative Eigenschaft ist eine dieser Eigenschaften, über die nicht viel geredet wird, da sie als selbstverständlich angesehen wird und ohne Wissen ständig verwendet wird. Die assoziative Eigenschaft hat damit zu tun, welche Operanden wir zuerst verarbeiten, wenn mehr als zwei Operanden betrieben werden, und wie es im Hinblick auf das Endergebnis der Operation keine Rolle spielt, welche Operanden wir zuerst ausführen.

Die assoziative Eigenschaft ist ein Eckpfeiler der Algebra und die Grundlage für die meisten Operationen, die wir täglich durchführen, auch ohne es zu wissen. Algebra ohne die assoziative Eigenschaft zu machen, ist zwar möglich, aber ziemlich schwierig. Es gibt Strukturen in der Mathematik, in denen Assoziativität nicht als wahr angenommen wird, aber diese sind viel begrenzter.

Im Kern der assoziativen Eigenschaft müssen wir zuerst die Idee der Operation verstehen. Ohne zu technisch zu werden, ist eine Operation "\(\circ\)" einfach eine Möglichkeit, zwei Elemente \(a\) und \(b\) für eine bestimmte Menge \(E\) zu verwenden und "etwas" mit ihnen zu tun, um ein weiteres Element \(c\) in der Menge \(E\) zu erstellen.

Dann nehmen Sie \(a\) und \(b\), bedienen sie und erhalten \(c\). Eine solche Aktion kann mathematisch als \(a \circ b = c\) ausgedrückt werden.

Es ist wichtig zu beachten, dass Sie ZWEI Elemente, \(a\) und \(b\), betrieben haben, um \(c\) zu erhalten. Ich betone noch einmal, Sie bedienen ZWEI Elemente, \(a\) und \(b\). So weit, ist es gut. Fragen Sie sich also, was ist, wenn Sie drei Elemente bedienen möchten. Nun, Sie können nicht, nachdem alle Operationen ZWEI Elemente genommen haben. Was würden Sie also mit dem dritten tun? Oder kannst du?

Was ist, wenn Sie zuerst zwei davon bedienen und dann das dritte mit dem Ergebnis der Bedienung der ersten beiden Elemente? Ja, das kann man machen. Angenommen, Sie haben drei Elemente \(a\), \(b\) und \(c\) und möchten diese bedienen. Eine Möglichkeit besteht darin, zuerst \(a\) und \(b\) und dann das Ergebnis von mit \(c\) zu betreiben. Das wäre \((a\circ b)\circ c\).

Beachten Sie dort die Klammer. Es gibt einen Grund dafür. Wenn Sie \((a\circ b)\circ c\) schreiben, sagen Sie, dass Sie zuerst \(a\) und \(b\) und dann \(c\) bedienen. Fair genug. Das scheint eine zufriedenstellende Art zu sein, \(a\), \(b\) und \(c\) zu betreiben. Aber ist das der einzige Weg? Was ist, wenn ich zuerst \(b\) und \(c\) betreibe und DANN \(a\) mit dem Ergebnis der Bedienung \(b\) und \(c\). Sie würden das als \(a\circ (b\circ c)\) schreiben.

Nun die große Frage: Ist es dasselbe, wenn ich diese drei Elemente auf die oben gezeigte Weise bediene? Erhalte ich das gleiche Endergebnis, wenn ich die ersten beiden betreibe und das Ergebnis mit dem dritten oder wenn ich das erste Element mit den Ergebnissen der anderen beiden betreibe? Oder ist \((a\circ b)\circ c\) einfach dasselbe wie \(a\circ (b\circ c)\). Liebe Freunde, die Antwort hängt davon ab, ob die Operation assoziativ ist.

Definition: Eine Operation \(\circ\) ist assoziativ, wenn wir für drei beliebige Elemente \(a\), \(b\) und \(c\) das haben

Nicht alle Operationen erfüllen diese assoziative Eigenschaft, die Mehrheit jedoch, einige jedoch nicht. Die häufigsten Operationen, die wir kennen, erfüllen die Assoziativität wie die Summe oder Multiplikation

BEISPIEL 1

Überprüfen Sie einige Zahlen, um sich davon zu überzeugen, dass die Assoziativität für die gemeinsame Summe "\(+\)" erfüllt ist.

ANTWORTEN:

Müssen wir zum Beispiel drei Zahlen: \(8\), \(4\) und \(7\). Lassen Sie uns uns sehen, ob die Vertrauensativität für diese Daten überprüfen ist oder nicht. Beachte das:

Auf der anderen Seite haben wir das

Daher in diesem Herbst \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).

Die assoziative Einstellung, die zum Definieren von Operationen mit mehr als zwei Operanden verwendet wird

Daher sind nicht alle Arbeitsverträglichen, aber die größten, die wir kennen, sind verhaltenativ. Wenn die Identativitätsfähigkeit ist, können wir ohne Mehrdeutigkeit die Operation von mehr als zwei Operandenhaften. Um es wahr zu machen, schreiben wir einfach \(a \circ b \circ c\) ohne Klammern.

BEISPIEL 2

Definieren wir die gleichen Bedienung:

Ist diese Operation kritischativ?

ANTWORTEN:

Beachte das

Auf der anderen Seite haben wir das

Daher ist es nicht immer wahr, dass \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). Daher ist die Operation "\(\circ\)" nicht aufsichtativ.