Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Funktion \(f(x)\). Zum Beispiel könnten Sie so etwas wie \(f(x) = x^2\) oder vielleicht so etwas wie \(f(x) = \sin x\) haben. Wir definieren die Ableitung der Funktion \(f(x)\) am Punkt \(x_0\) als

wenn das Limit existiert. Bevor Sie sich beschweren und sagen: "Was zum Teufel ist das?" Lassen Sie mich Ihnen etwas sagen, das ist nicht kompliziert, da es auf den ersten Blick aussehen mag. Zunächst ein paar Beobachtungen darüber, worum es bei dieser Grenze geht.

• Das Derivat \(f'(x)\) ist auch eine Funktion (wann immer es definiert ist).


• Die Ableitung wird an einem bestimmten Punkt \(x_0\) unter Verwendung der oben gezeigten Grenze berechnet. Wenn diese Grenze existiert und nur wenn sie existiert, sagen wir, dass die Ableitung am Punkt \(x_0\)a gut definiert ist und als \(f'(x_0)\) geschrieben wird


• Mit anderen Worten, die Ableitung \(f'(x)\) kann als eine Funktion betrachtet werden, die von der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) abhängt und Punkt für Punkt berechnet wird.


• Das ist es, das ist alles, was Sie jetzt wissen müssen (im Ernst!).

Beachten Sie, dass das Konzept der Ableitung an einem bestimmten Punkt \(x_0\) als die sofortige Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt interpretiert wird. Dies wird durch Berechnung der erreicht bestimmte Beanungsrate für ein Intervall der Breite \(\Delta x\) und nehmen Sie dieses \(\Delta x\), wenn es sich Null nähert.

Es ist Zeit, ein paar nette Beispiele zu lesen, um zu verstehen, was los ist:

Beispiel : Berechnen Sie die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^2\) am Punkt \(x_0 = 2\)

Lösung : Wir verwenden einfach die Definition und ersetzen die entsprechenden Begriffe. Mal sehen, was wir bekommen:

Wir haben einfach \(f(x) = x^2\) und \(x_0 = 2\) in der ursprünglichen Definition der Ableitung ersetzt. Wenn wir nun \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\) bemerken, finden wir das

Im nächsten Tutorial erfahren Sie mehr über die Berechnung von Derivaten.

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