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Geometrische sequenzen

Ein Geometrische Sequenz ist eine Zahlenfolge, die die Eigenschaft hat, dass das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Elementen konstant ist und einem bestimmten Wert \(r\) entspricht. Dieser Wert wird auch als das gemeinsame Verhältnis bezeichnet.

In einem realen Problem erhalten Sie einen Anfangswert \(a\) und das konstante Verhältnis \(r\), das zwischen aufeinanderfolgenden Werten in der Folge erhalten bleibt. Ihre Aufgabe wird sein die geometrische Folge zu berechnen unter Verwendung dieser Informationen.

Wie löse ich eine geometrische folge?

Angenommen, der erste Term ist \(a\). Dann ist der nächste Term \(a r\), und der nächste ist \(ar^2\). Und so weiter.

Mit anderen Worten: Wir beginnen mit dem ersten Term \(a\), und der nächste Term wird immer durch Multiplikation des vorherigen Terms mit \(r\) gefunden.

Der erste Term ist also \(a_1 = a\).

Der zweite Begriff ist \(a_2 = a r\).

Der dritte Begriff ist \(a_3 = a r^2\).

Geometrische sequenzformel

Das obige Beispiel zeigt, dass der Ausgangswert \(a\) bei jedem Schritt mit einem zusätzlichen \(r\) multipliziert wird. Daher ist der allgemeine n ^th begriff ist

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

Das bedeutet, dass nach \(n\) Schritten vorwärts die entsprechende Zahl in der Folge \( a_n = a r^{n-1}\) ist. Dies ist die Formel für das geometrische Reihenmuster, und alles, was Sie brauchen, ist, die Werte von \(a\) und \(n\) in die Formel einzusetzen.

Wie findet man also den n-ten term in einer geometrischen folge?

Um den n-ten Term in einer geometrischen Folge zu finden, benötigt man zwei Informationen, um eine geometrische Folge zu definieren: Sie benötigen den Anfangsterm \(a\) und das konstante Verhältnis \(r\).

Dann werden die aufeinanderfolgenden Terme der geometrischen Folge durch Multiplikation des vorherigen Terms mit \(r\) erhalten. Zum Beispiel ist 3, 6, 12, 24, ... eine geometrische Folge, da der Anfangswert \(a = 3\) ist und jeder nachfolgende Wert durch Multiplikation des vorherigen Wertes mit \(r = 2\) erhalten wird.

Sie können sich zum Beispiel auch fragen, wie die Regel für 1 2 4 8 16 lautet und ob es sich um eine geometrische Folge handelt. Nun, wir haben, dass der Anfangswert \(a = 1\) ist, und jeder nächste Wert wird durch Multiplikation des vorherigen Wertes mit \(r = 2\) erhalten.

BEISPIEL 1: Beispiel für eine geometrische Folge

Finde den 6. Term einer geometrischen Folge mit dem Anfangsterm \(10\), und \(r = 1/2\).

Antworten:

Also, wie können Sie eine geometrische Folge berechnen ? Auf der Grundlage der bereitgestellten Informationen haben wir genügend Informationen, um die geometrische Folge zu definieren. In der Tat haben wir den ersten Term \(a = 10\), und wir haben das konstante Verhältnis \(r = 1/2\).

Die allgemeine n ^th begriff ist

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

so dass dann die 6 ^th begriff ist

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

Kann das gemeinsame verhältnis negativ sein?

Ja, absolut. Das konstante Verhältnis \(r\) kann negativ sein. Wir können zum Beispiel eine geometrische Folge mit dem ersten Term \(a_1 = 1\) und dem konstanten Verhältnis \(r = -2\) haben. Der zweite Term ist dann \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\), und so weiter.

Es ist also genau die gleiche Regel: um den folgenden Term zu erhalten, multiplizieren wir den vorherigen Term mit dem konstanten Verhältnis \(r\), auch wenn das konstante Verhältnis negativ ist.

Beispiel 2

Finde den 5. Term einer geometrischen Folge mit dem Anfangsterm \(3\), und \(r = -2\).

Antworten:

Wir haben genug Informationen, um die geometrische Folge zu definieren, denn wir haben den ersten Term \(a_1 = 3\) und wir haben das konstante Verhältnis \(r = -2\).

Die allgemeine n ^th term (mit negativem konstanten Verhältnis) ist

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

so dass dann die 5 ^th begriff ist

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

Sie können unsere verwenden rechner für geometrische Reihenformeln um zu überprüfen, was Sie oben gefunden haben, was ein expliziter Formelrechner ist.

Beisiziel 3

Betrachten wir die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/16, ... Ist diese Folge geometrisch?

Antworten:

Damit eine gegebene Folge geometrisch ist, müssen die Terme ein gemeinsames Verhältnis haben. In diesem Fall erhält man durch Division des zweiten Terms durch den ersten Term \((1/2)/1 = 1/2\).

Wenn wir dann den dritten durch den zweiten Term dividieren: \((1/4)/(1/2) = 1/2\). So weit, so gut.

Wenn wir nun den vierten durch den dritten Term dividieren: \((1/16)/(1/4) = 1/4\). Das klappt nicht. Es handelt sich nicht um eine geometrische Reihe, weil sie kein gemeinsames Verhältnis hat (das Verhältnis ist 1/2 für die ersten beiden Terme, aber dann ist es 1/4, also ist es nicht konstant).

Die Folge ist also KEINE geometrische Folge.

Mehr über die geometrischen sequenzen

Die Pointe, die Sie im Kopf behalten müssen. Wie lautet die Formel der geometrischen Folge? Einfach

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

wobei \(a\) der Anfangsterm ist und \(r\) das konstante Verhältnis (oder das gemeinsame Verhältnis, wie es auch genannt wird) ist.

Es gibt eine Reihe von Rechnern, die Sie vielleicht verwenden möchten und die mit dem Konzept der geometrischen Folge zusammenhängen, oder geometrische Progression , wie sie auch genannt wird.

- Zunächst können Sie unsere rechner für die Summe unendlicher geometrischer Reihen , die unendliche Terme einer geometrischen Folge summiert. Diese Summe ist wohldefiniert (konvergiert), wenn das konstante Verhältnis so ist, dass \(|r| < 1\).

- Außerdem sollten Sie unsere rechner für die Summe geometrischer Folgen , die die Summe der Terme einer geometrischen Folge bis zu einem bestimmten endlichen Wert berechnet. Diese Summe ist ohne Bedingungen an das konstante Verhältnis \(r\) wohldefiniert, vorausgesetzt, wir addieren bis zu einem endlichen Term der Folge.