Mehr über die unendlichen geometrischen Reihen

Die Idee eines unendlich Serien können zunächst verwirrend sein. Es muss nicht kompliziert sein, wenn wir verstehen, was wir unter einer Serie verstehen.

Eine unendliche Reihe ist nichts als eine unendliche Summe. Mit anderen Worten, wir haben eine unendliche Menge von Zahlen, sagen wir \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), und addieren diese Begriffe wie:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

Da es jedoch mühsam sein kann, den obigen Ausdruck schreiben zu müssen, um deutlich zu machen, dass wir eine unendliche Anzahl von Begriffen summieren, verwenden wir wie immer in der Mathematik die Notation. Eine unendliche Reihe ist geschrieben als:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

Das ist eine kompaktere, eindeutigere Art auszudrücken, was wir meinen. Dennoch ist die Idee einer unendlichen Summe etwas verwirrend. Was meinen wir mit unendlicher Summe?

Das ist eine gute Frage: Die Idee, eine unendliche Anzahl von Begriffen zu summieren, besteht darin, einen bestimmten Begriff \(N\) zu addieren und diesen Wert \(N\) dann bis ins Unendliche zu verschieben. So genau ist eine unendliche Reihe definiert als

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

In der Tat ist das Obige die formale Definition der Summe einer unendlichen Reihe.

Was ist das Besondere an einer geometrischen Serie?

Um eine unendliche Reihe anzugeben, müssen Sie im Allgemeinen eine unendliche Anzahl von Begriffen angeben. Bei der geometrischen Reihe müssen Sie nur den ersten Term \(a\) und das konstante Verhältnis \(r\) angeben.

Der allgemeine n-te Term der geometrischen Folge ist \(a_n = a r^{n-1}\), also wird die geometrische Reihe

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

Ein wichtiges Ergebnis ist, dass die obige Reihe genau dann konvergiert, wenn \(|r| < 1\). In diesem Fall lautet die geometrische Reihenformel für die Summe

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

Beispiele

Als Beispiel können wir die Summe der geometrischen Reihen \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\) berechnen. In diesem Fall ist der erste Term \(a = 1\) und das konstante Verhältnis ist \(r = \frac{1}{2}\). Die Summe wird also direkt berechnet als:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

Was mit der Serie passiert, ist \(|r| > 1\)

Kurze Antwort: Die Serie geht auseinander. Die Terme werden zu groß, wie beim geometrischen Wachstum, wenn \(|r| > 1\) die Terme in der Sequenz extrem groß werden und gegen unendlich konvergieren.

Was ist, wenn die Summe nicht unendlich ist?

In diesem Fall müssen Sie dies verwenden Summenrechner für geometrische Abteilungen , in dem Sie eine endliche Anzahl von Begriffen addieren.