Exponentielle Zerfallsformel
Die Exponential Decay-Formel ist sehr nützlich und kommt in der Praxis in VIELEN Anwendungen vor, einschließlich der Modellierung des radioaktiven Zerfalls.
Unser Hauptziel in diesem Tutorial ist es, etwas über die Exponentialzerfallsformel zu lernen, wann man sie anwendet und wie man mit ihren Parametern umgeht.
Algebraisch gesehen, ein exponentiellen Abfall Ausdruck ist ein beliebiger Ausdruck der Form
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]Dabei ist \(k\) eine reelle Zahl, so dass \(k > 0\), und auch \(A\) eine reelle Zahl, so dass \(A > 0\).
In der Regel wird der Parameter \(A\) als bezeichnet Ursprünglicher Wert und der Parameter \(k\) heißt Zerfallskonstante oder Zerfallsrate .
Beispielsweise
\[\large f(x) = e^{-x} \]und
\[\large g(x) = e^{-2x} \]beide entsprechen Funktionen mit exponentiellem Zerfall.
Wie sehen diese Funktionen mit exponentiellem Zerfall GRAFISCH aus? Schau es dir unten an:
Eine Sache, die wir beobachten können, ist, dass beide Funktionen WIRKLICH schnell VERRINGERN.
Was meinen wir mit DECAY ??? Sie zerfallen in dem Sinne, dass sie sich schnell Null nähern, wenn \(x\) immer größer wird (\(x \to +\infty\)).
In der Tat sind beide Funktionen nach beispielsweise \(x > 4\) sehr klein (der Graph berührt fast die y-Achse).
Wenn wir darauf achten, stellen wir außerdem fest, dass \(e^{-2x}\) SCHNELLER als \(e^{-x}\) zerfällt.
FRAGE ::
Funktioniert die folgende Funktion:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]exponentiellen Zerfall haben ???
Die Antwort ist ja.
Obwohl man anfangs denken könnte: "Nun, das ist kein exponentieller Zerfall, weil ich das '\(e\)' nirgendwo sehe ...". Das ist also sehr aufmerksam.
ABER vergiss nicht, dass wir schreiben können
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]also dann die funktion
\[\large f(x) = 2^{-x}\]kann umgeschrieben werden als
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]Die obige Berechnung beweist (Husten, Husten, tut mir leid, dass Sie dieses Wort nicht mögen), dass \(2^{-x}\) eine Funktion mit exponentiellem Zerfall mit Zerfallskonstante \(k = \ln 2\) ist.
BEISPIEL 1:
Finden Sie den Anfangswert und die Abklingrate für die folgende Funktion:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]ANTWORTEN:
Basierend auf der gegebenen Funktion erhalten wir direkt, dass der Anfangswert in diesem Fall \(A = 3\) und die Abklingrate \(k = -4\) ist.
BEISPIEL 2:
Bestimmen Sie, ob der folgende Ausdruck einen exponentiellen Abfall aufweist, und ermitteln Sie in diesem Fall den Anfangswert und die Abklingrate:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]ANTWORTEN:
Beachten Sie, dass wir das '\(e\)' nicht direkt im Ausdruck sehen, ABER vergessen Sie nicht, dass wir schreiben können
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]also dann die funktion
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]kann umgeschrieben werden als
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]Daher ist dies eine Funktion mit exponentiellem Abfall, und ihre Parameter sind: Anfangswert \(A =\frac{1}{2}\) und exponentieller Abfall \(k = 2(\ln 3)\).
Anwendungen: So finden Sie die Parameter einer Exponentialformel
Oft erhalten wir nicht nur die exponentiellen Zerfallsparameter. Ja. Manchmal müssen diese Parameter aus bestimmten bereitgestellten Informationen berechnet werden, und dann müssen Sie sich Gedanken darüber machen, wie Sie den exponentiellen Zerfall lösen können
Diese Informationen werden normalerweise in einer der folgenden zwei Arten angegeben:
Typ 1:
Wir wissen, dass es einen exponentiellen Zerfall gibt, UND wir erhalten den Anfangswert und den
halbes Leben
Typ 2:
Wir wissen, dass es einen exponentiellen Zerfall gibt, UND wir erhalten den Wert der Funktion zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.
Anmerkungen zur Halbwertszeit
Die Halbwertszeit entspricht der Zeit, die eine Funktion mit exponentiellem Abfall benötigt, um ihren Wert auf die Hälfte ihres ursprünglichen Werts zu bringen.
Nehmen wir also an, dass \(h\) die Halbwertszeit von \(f(x) = A e^{-kx}\) ist und \(A\) bekannt ist. Wie berechnen wir die Abklingrate \(k\)? Beachten Sie, dass wir bei \(x = h\) genau die HÄLFTE von dem haben, was wir ursprünglich hatten:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]und das Lösen führt zu
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]Wenn Sie an einem tatsächlichen Problem arbeiten, können Sie entweder die Formel direkt verwenden oder einfach die Ableitung durchführen, die wir durch Einrichten der Informationen über die Halbwertszeit durchgeführt haben.
BEISPIEL 3:
Angenommen, eine Funktion hat den Anfangswert \(A = 3\) und ihre Halbwertszeit ist \(h = 3\). Nehmen Sie außerdem an, dass die Funktion einen exponentiellen Abfall aufweist. Finden Sie die exponentielle Abklingrate.
ANTWORTEN:
Dies ist also der erste Fall der Art von Informationen, die wir erhalten können. Wir müssen den Anfangswert \(A\) und die Abklingrate \(k\) finden, um die exponentielle Abklingformel vollständig zu bestimmen.
In diesem Fall erhalten wir bereits \(A = 3\). Wir müssen also nur noch die Abklingkonstante \(k\) berechnen. Da wir die Halbwertszeit kennen, können wir die Zerfallsrate direkt mit der folgenden Formel berechnen:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]Daher lautet die exponentielle Abklingformel
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]BEISPIEL 4:
Angenommen, eine Funktion hat den Anfangswert \(A = 5\), und wenn \(x = 4\), haben wir diesen \(f(4) = 2\). Nehmen Sie außerdem an, dass die Funktion einen exponentiellen Abfall aufweist. Finden Sie die Exponentialzerfallsformel.
ANTWORTEN:
Dies ist also der erste Fall der Art von Informationen, die wir erhalten können. Wir müssen den Anfangswert \(A\) und die Abklingrate \(k\) finden, um die exponentielle Abklingformel vollständig zu bestimmen.
In diesem Fall erhalten wir \(A = 5\), und dann müssen wir nur noch die Abklingkonstante \(k\) berechnen. Da wir den Wert der Funktion kennen, wenn \(x = 4\):
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]Nachdem wir nun den Abklingfaktor berechnet haben, erhalten wir die exponentielle Abklingformel
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]Folgendes wird erhalten, wenn wir diese Funktion grafisch darstellen:
Weitere Informationen zum exponentiellen Zerfall
Der exponentielle Zerfall ist ein Modell, bei dem die Exponentialfunktion eine Schlüsselrolle spielt und ein sehr nützliches Modell ist, das zu vielen realen Anwendungstheorien passt. Die bekannteste Anwendung des exponentiellen Zerfalls hat mit dem Verhalten radioaktiver Materialien zu tun.
In der Tat folgt radioaktives Material einer exponentiellen Zerfallsgleichung, und jedes Material hat (abhängig von seiner eigenen Flüchtigkeit) seine Halbwertszeit, dh die Zeit, die benötigt wird, um die Menge an radioaktivem Material auf die Hälfte zu reduzieren.
Normalerweise wird die Formel für den radioaktiven Zerfall wie folgt geschrieben
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]oder manchmal wird es in Form der Halbwertszeit \(h\) als ausgedrückt
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]Was bedeutet exponentieller Zerfall?
Mathematisch gesehen hat eine Funktion einen exponentiellen Zerfall, wenn sie in der Form \(f(x) = A e^{-kx}\) geschrieben werden kann. Für viele von Ihnen würde dies nicht zu viel sagen.
Ok, das ist in Ordnung, also können wir den exponentiellen Zerfall beschreiben. Ein exponentieller Zerfall bedeutet vielleicht "WIRKLICH schnell zerfallen". Während Funktionen mit exponentiellem Zerfall sehr schnell abklingen, haben nicht alle Funktionen, die sehr schnell abfallen, einen exponentiellen Zerfall.
Betrachten Sie beispielsweise \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). Wenn Sie diese Funktion grafisch darstellen, werden Sie sehen, dass sie sehr schnell abfällt, aber tatsächlich keinen exponentiellen Abfall aufweist.
Wenn Sie den exponentiellen Zerfall beschreiben möchten, müssen Sie über die algebraischen Begriffe seiner Definition hinaus sagen, dass eine Funktion einen exponentiellen Zerfall hat, wenn sie sehr schnell zerfällt, aber AUCH eine entscheidende Eigenschaft hat:
Unabhängig vom Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt \(x\) existiert ein Wert \(h\), so dass der Wert der Funktion am Punkt \(x+h\) halb so groß ist wie der Wert der Funktion an \(x\).
In Ordnungswörtern gibt es einen konstanten Wert \(h\) (ja, Sie haben erraten, die Halbwertszeit), der die Eigenschaft hat, dass die Funktion ihren Wert nach \(h\) Einheiten auf die Hälfte reduziert.
Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) hat, obwohl sie schnell zerfällt, nicht die oben genannte Eigenschaft (Halbwertszeit).