Cómo encontrar la inversa de una función
Muchas aplicaciones en Álgebra y Cálculo dependen de saber cómo encontrar la inversa de una función, y ese es el tema de este tutorial.
En primer lugar, debe darse cuenta de que antes de encontrar la inversa de una función, debe asegurarse de que exista dicha inversa.
Lo bueno del método para encontrar la inversa que usaremos es que encontraremos la inversa y averiguaremos si existe o no al mismo tiempo.
¿¿Listo?? Abróchate el cinturón entonces.
¿Cómo saber si una función tiene una inversa?
Técnicamente, una función tiene una inversa cuando es uno-a-uno (inyectiva) y sobreyectiva.
Sin embargo, la condición crucial es que debe ser uno-a-uno, porque una función siempre puede volverse sobreyectiva restringiendo su rango a su propia imagen.
¿Cómo saber cuándo una función es uno a uno?
Bueno, hay al menos un par de formas. Una es la forma algebraica y la otra es la forma gráfica (apuesto a que sé cuál prefieres, ¿eh?)
Camino algebraico
De manera algebraica, para que una función \(f\) sea uno a uno, necesitamos demostrar que cada vez que \(f(x) = f(y)\), entonces forzosamente tendremos que \(x = y\).
En otras palabras, tenemos que demostrar que
\[f(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y\]
Manera gráfica
Para la forma gráfica, necesitamos usar la prueba de la línea horizontal : Para cualquier línea horizontal que dibujemos, la gráfica de la función cruza como máximo una vez esa línea horizontal.
Gráficamente:
Pasa la prueba de la línea horizontal
No pasa la prueba de la línea horizontal
Encontrar la inverso
Encontrar la inversa de una función dada \(f(x)\) requiere que resuelvas una ecuación.
De hecho, tiene la ecuación \(f(x) = y\), toma \(y\) como un número dado, y necesita resolverlo para \(x\), y debe asegurarse de que la solución sea ÚNICA.
Eso es todo. Fácil, ¿verdad?
Ahora, en los pasos prácticos:
Paso 1:
Para un \(y\) dado, establezca la ecuación:
y resolverlo para \(x\).
Paso 2:
Asegúrese de prestar atención para ver para qué \(y\), en realidad hay una solución que es única.
Paso 3:
Una vez que resuelva \(x\) en términos de \(y\), esa expresión que depende de \(y\) será su \(f^{-1}(y)\).
Paso 4:
Cambie el nombre de la variable de \(y\) a \(x\) y tendrá su función inversa \(f^{-1}(x)\).
EJEMPLO 1
Encuentra la inversa de la función \(f(x) = \sqrt x\)
RESPONDER:
Entonces, tomamos \(y\) como dado y necesitamos resolver \(f(x) = y\), que en este caso corresponde a resolver
\[\sqrt x = y\]Tenga en cuenta que la raíz cuadrada siempre es no negativa, por lo que para tener una solución, necesitamos que \(y\ge 0\).
Aplicando cuadrado a ambos lados obtenemos que
\[\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2\] \[\Rightarrow \,\, x = y^2\]Entonces, \(f^{-1}(y) = y^2\), y cambiando el nombre de la variable, tenemos la función inversa es
\[f^{-1}(x) = x^2\]para \(x\ge 0\).
EJEMPLO 2
Encuentre la inversa de la función \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}\), para \(x > -1\)
RESPONDER:
Nuevamente, tomamos \(y\) como dado, y ahora necesitamos resolver para \(x\) la ecuación \(f(x) = y\). Entonces tenemos
\[\displaystyle \frac{x}{x+1} = y\] \[\Rightarrow \,\, x = y(x+1)\] \[\Rightarrow \,\, x = yx + y\] \[\Rightarrow \,\, x - yx = y\] \[\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y\] \[\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}\]Entonces, \(f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}\), y cambiando el nombre de la variable, tenemos la función inversa es
\[f^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}\]Más acerca de encontrar la inversa de una función
Una de las propiedades cruciales de la función inversa \(f^{-1}(x)\) es que \(f(f^{-1}(x)) = x\).
Piense en lo que dice esta cosa. Algo como: "La función evaluada a la inversa te da la identidad".
O en otras palabras, evaluar lo inverso a través de la función es como no hacer nada con el argumento.
O como a algunas personas les gusta decir: la función puede cancelar la inversa de alguna manera.
Tú eliges tu versión.
¿Cómo encontrar la inversa de una función cuadrática? ¿Puedes?
En realidad, la respuesta es: depende. Esto se debe a que si consideramos una función cuadrática en toda la línea real , entonces no es 1-1, ya que no pasa la prueba de la línea horizontal, como puede ver en el siguiente cuadro:
Al no pasar la prueba de la línea horizontal, podemos ver que para un \(y\) dado hay más de un valor \(x\) de modo que \(f(x) = y\), por lo que no podemos "resolver" para \(x\), ya que hay más de un \(x\).
PERO, si restringe el dominio y considera decir solo los números positivos, obtendríamos lo siguiente:
que pasa la prueba de la línea horizontal, y por lo tanto, la función cuadrática es invertible.
MORAL DE LA HISTORIA: Para comprobar si algo es invertible, NO se trata solo de la función. Se trata de la función Y su dominio y rango .
Cómo averiguar rápidamente el gráfico de funciones inversas
Siempre existe el requisito de evaluar si la función \(f(x)\) es invertible o no (verificando si es o no uno a uno). Pero suponiendo que sepa que es invertible, existe una manera fácil de encontrar la gráfica de la inversa.
Primero, grafica la función dada \(f(x)\).
Luego, grafica la línea de 45 grados \(y = x\).
Para graficar \(f^{-1}(x)\), todo lo que tienes que hacer es reflejar la gráfica de \(f(x)\) a través de la línea de 45 grados \(y = x\), como un espejo.
Vea el siguiente ejemplo con las funciones \(f(x) = \sin x\) y \(f^{-1}(x) = \arcsin x\)
Otra forma de ver esto es usar el original grafico y cambie el valor de \(x\) por el valor de \(y\).
¿Hay alguna forma de que una función sea su propia inversa?
Sí, en realidad es posible, pero solo ocurre para la función de identidad, es decir, con \(f(x) = x\).