Calculadora de Matriz Invertível


Instruções: Utilize esta calculadora para encontrar o inverso de uma matriz que lhe é fornecida, mostrando passo a passo. Primeiro, clique num dos botões abaixo para especificar a dimensão da matriz.

Depois, clicar na primeira célula e digitar o valor, e mover-se em torno da matriz pressionando "TAB" ou clicando nas células correspondentes, para definir TODOS os valores da matriz.


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Mais sobre esta Calculadora Matricial Invertível com passos

O conceito de inverso de matriz irá aparecer em tantos contextos em Álgebra. Em primeiro lugar, para as matrizes, a ideia é poder operá-las de uma forma semelhante à que faríamos com os números. E, de facto, existem operações de soma , subtracção e multiplicação de matrizes .

Mas que tal a "divisão" de matrizes? Quando temos um número, 3, por exemplo, posso definir o inverso (multiplicativo) desse número, que eu poderia escrever como <313^{-1}, ou mais comummente escrito como 13\displaystyle \frac{1}{3}>.

Uma propriedade crucial deste inverso é que quando multiplicado pelo número original, dá 1, isto é 313=13 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1>>.

Como identificar e matriz invertível

Como se define o inverso de uma matriz?

Para matrizes, o papel do "1" é desempenhado pela matriz de identidade II, e dada uma matriz AA, diremos que <A1A^{-1} é o inverso de AA se AA1=I=A1AA A^{-1} = I = A^{-1} A>.

Por outras palavras, o inverso de uma dada matriz AA é uma matriz que tem a propriedade que multiplicando essa matriz pelo original , conduz à matriz identitária I.

Como é que se calcula a matriz inversa?

Há muitas, muitas formas diferentes de calcular o inverso de uma dada matriz AA>>. Um dos métodos mais comummente utilizados é o fórmula em anexo que se baseia na calculadora de um monte de determinantes de sub-matrices obtidos pela remoção de uma linha e uma coluna de <AA>.

Observe que esta calculadora inversa também lhe dá a opção de calcular o inverso usando o método de redução gaussiano para calcular a forma de linha reduzida do escalão de uma matriz aumentada.

Existe também o método pivotante para converter a matriz inicial AA na identidade usando matrizes elementares, mantendo ao mesmo tempo o registo da multiplicação dessas matrizes elementares, que acaba por ser o inverso.

E1E2EkA=IE1E2Ek=A1 E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}

Há também métodos de invertibilidade baseados em algumas decomposições e, em última análise, as matrizes com estruturas úteis específicas podem ser processadas mais rapidamente em termos de encontrar o seu inverso utilizando métodos especializados, aplicáveis apenas a certas estruturas.

Calculadora inversa

Qual é a fórmula para a matriz inversa?

Usando a fórmula adjunta, descobrimos que a fórmula para o inverso de uma matriz AA é:

A1=1det(A)adj(A) A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)

À primeira vista, isto parece simples! Mas não é tanto quando o tamanho da matriz é grande. De facto, a fórmula acima diz-lhe que, para encontrar o inverso, é preciso calcular o determinante da matriz, e também é preciso calcular a matriz adjunta.

Ao contrário do que as aparências podem sugerir, isto pode ser muito trabalhoso, com o tamanho da matriz a ser grande (como n>4n > 4). Portanto, é bom termos uma fórmula compacta, mas isso não significa necessariamente que não seja trabalhosa.

Como se pode inverter uma matriz 2x2?

Primeiro, é preciso certificar-se de que det(A)0\det(A) \ne 0>>. Assumindo que temos uma matriz 2x2, utilizaremos a fórmula adjunta. Que

A=[abcd] A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

por isso, utilizando a fórmula adjunta, obteríamos

A1=1det(A)adj(A)=1det(A)CT A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T

Para a matriz geral 2x2 AA o seu determinante é

det(A)=adbc \det(A) = ad - bc

Além disso, a matriz de co-factor é

C=[(1)1+1d(1)1+2c(1)2+1b(1)2+2a]=[dcba] C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}

Por isso, agora precisamos de transpor a matriz CC>>:

CT=[dcba]T=[dbca] C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Assim, finalmente, temos a fórmula para o inverso:

A1=1det(A)CT=1adbc[dbca] A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Fácil o suficiente, huh? Quer tentar por 3x3?

Como encontrar o inverso de uma matriz 3x3?

O primeiro requisito, como com todas as matrizes, é calcular o determinante e certificar-se de que det(A)0\det(A) \ne 0>>. Depois, precisamos de recordar a fórmula genérica do adjunto

A1=1det(A)adj(A)=1det(A)CT A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T

onde <CC é a matriz de cofactores. Se escrevesse isto explicitamente, obteria algo como isto: para AA uma matriz genérica 3x3:

A=[abcdefghi] A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

obteríamos

A1=1det(A)adj(A)=1det(A)CT A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T

Para a matriz geral 3x3 AA o seu determinante é

det(A)=a(eihf)b(digf)+c(dhge) \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)

Além disso, a matriz de co-factor é

C=[(1)1+1efhi(1)1+2dfgi(1)1+3degh(1)2+1bchi(1)2+2acgi(1)2+3abgh(1)3+1bcef(1)3+2acdf(1)3+3abde] C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} =[eifh(digf)dhge(bihc)aigc(ahgb)bfec(afdc)aedb] = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix} =[eifhgfdidhgehcbiaigcgbahbfecdcafaedb] = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}

Por isso, agora precisamos de transpor a matriz CC>>:

CT=[eifhgfdidhgehcbiaigcgbahbfecdcafaedb]T=[eifhhcbibfecgfdiaigcdcafdhgegbahaedb] C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}

Assim, finalmente, temos a fórmula para o inverso:

A1=1det(A)CT=1a(eihf)b(digf)+c(dhge))[eifhhcbibfecgfdiaigcdcafdhgegbahaedb] A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}

Pronto para memorizar isso? Claro que não. Não que seja necessário, na verdade. Isto é apenas uma provocação de quão complicado se torna quando se tenta obter uma fórmula geral para uma simples matriz 3x3. Fica realmente confuso, e bastante inútil para n>3n > 3.

Portanto, é muito mais prático aplicar um conjunto de passos para encontrar o inverso:

Quais são os passos a seguir para calcular o inverso de uma matriz?

Passo 1: Calcular o factor determinante da matriz A dada. Note-se que isto pode ser um cálculo que consome grandes matrizes, por isso use para calcular o determinante pela linha/coluna com o maior número de zeros.

Passo 2: Calcular a matriz de co-factor associada à matriz A. É necessário calculá-la componente por componente, calculando o determinante da sub-matriz obtida pela remoção da linha i e coluna j, multiplicada pelo sinal (1)i+j(-1)^{i+j}>. Mais uma vez aqui, ao calcular os sub-determinantes certifique-se de escolher a linha/coluna com o maior número de zeros.

Passo 3: Uma vez obtido o determinante da matriz original e a matriz do co-factor, dividir cada componente da matriz do co-factor pelo determinante, e o resultado disso é, finalmente, a matriz inversa.

Como utilizar esta calculadora inversa

  1. Especificar o tamanho da matriz
  2. Escreva os números que determinam a matriz
  3. Seleccione o método que prefere utilizar para calcular o inverso: "Adjoint Formula" ou "Reduced Row Echelon Form" (Fórmula Ajustada)
  4. Clique em "Calcular Inverso"
Matriz Inversa

Exemplo: Cálculo do inverso de uma dada matriz

Pergunta: Considere a seguinte matriz:

A=[121214111]A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}

Encontrar o seu inverso usando a fórmula adjunta.

Solução: Precisamos de calcular o inverso de uma matriz 3×33 \times 3 que tenha sido fornecida.

Passo 1: Calcular o determinante da Matriz

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

121214111=1(1(1)1(4))2(2(1)1(4))+1(2(1)1(1)) \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) =1(3)2(2)+1(1)=2 = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2

Uma vez que <det(A)=20\det(A) = 2 \ne 0, concluímos que a matriz é invertível, e podemos continuar com o cálculo do inverso da matriz dada AA>>.

Passo 2: Calcular a Matriz de Factor de Computação

Primeiro calculamos a matriz dos menores. Temos que, por definição, a matriz dos menores MM é definida pela fórmula

Mij=detAi,j M_{ij} = \det A^{i,j}

onde neste caso <Ai,j A^{i,j} é a matriz AA após eliminação da linha ii> e coluna jj>>.

Portanto, e com base na matriz AA> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <A1,1A^{ 1, 1}:

M11=detA11=1411=1(1)1(4)=3M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3

Para <A1,2A^{ 1, 2}:

M12=detA12=2411=2(1)1(4)=2M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2

Para <A1,3A^{ 1, 3}:

M13=detA13=2111=2(1)1(1)=1M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A2,1A^{ 2, 1}:

M21=detA21=2111=2(1)1(1)=1M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A2,2A^{ 2, 2}:

M22=detA22=1111=1(1)1(1)=0M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0

Para <A2,3A^{ 2, 3}:

M23=detA23=1211=1(1)1(2)=1M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1

Para <A3,1A^{ 3, 1}:

M31=detA31=2114=2(4)1(1)=7M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7

Para <A3,2A^{ 3, 2}:

M32=detA32=1124=1(4)2(1)=2M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2

Para <A3,3A^{ 3, 3}:

M33=detA33=1221=1(1)2(2)=3M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3

Resumindo, a matriz dos menores é:

M=[321101723]M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix}

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor CC usando a fórmula

Cij=(1)i+jMij C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

C11=(1)1+1(3)=(1)2(3)=3 C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3 C12=(1)1+2(2)=(1)3(2)=2C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2 C13=(1)1+31=(1)41=1C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1 C21=(1)2+11=(1)31=1C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1 C22=(1)2+20=(1)40=0C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0 C23=(1)2+3(1)=(1)5(1)=1C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1 C31=(1)3+17=(1)47=7C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7 C32=(1)3+22=(1)52=2C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2 C33=(1)3+3(3)=(1)6(3)=3C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3

Resumindo, a matriz de co-factor é:

C=[321101723]C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix}

Passo 3: Calcular a Matriz Adjunta a partir da Matriz de Co-factor

Agora, só precisamos de transpor a matriz de co-factor que encontrámos para calcular a matriz adjunta. Conseguimos:

adj(A)=CT=[321101723]T=[317202113]adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix}

Passo 4: Calcular o Inverso a partir da Matriz de Co-factor

Finalmente, precisamos de multiplicar 1det(A)=12\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2} a cada componente da matriz adjunta. Assim obtemos:

A1=1det(A)adj(A)=12[317202113]=[12×(3)12×(1)12×(7)12×212×012×(2)12×112×112×3]=[321272101121232]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix}

que conclui o cálculo do inverso da matriz AA>>.

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