Instruções:
Utilize esta calculadora para encontrar o inverso de uma matriz que lhe é fornecida, mostrando passo a passo. Primeiro, clique num dos botões abaixo para especificar a dimensão da matriz.
Depois, clicar na primeira célula e digitar o valor, e mover-se em torno da matriz pressionando "TAB" ou clicando nas células correspondentes, para definir TODOS os valores da matriz.
Mais sobre esta Calculadora Matricial Invertível com passos
O conceito de inverso de matriz irá aparecer em tantos contextos em Álgebra. Em primeiro lugar, para as matrizes, a ideia é poder operá-las de uma forma semelhante à que faríamos com os números. E, de facto, existem
operações de soma
,
subtracção
e
multiplicação de matrizes
.
Mas que tal a "divisão" de matrizes? Quando temos um número, 3, por exemplo, posso definir o inverso (multiplicativo) desse número, que eu poderia escrever como <3−1, ou mais comummente escrito como 31>.
Uma propriedade crucial deste inverso é que quando multiplicado pelo número original, dá 1, isto é 3⋅31=1>>.
Há muitas, muitas formas diferentes de calcular o inverso de uma dada matriz A>>. Um dos métodos mais comummente utilizados é o
fórmula em anexo
que se baseia na calculadora de um monte de determinantes de sub-matrices obtidos pela remoção de uma linha e uma coluna de <A>.
Observe que esta calculadora inversa também lhe dá a opção de calcular o inverso usando o método de redução gaussiano para
calcular a forma de linha reduzida do escalão
de uma matriz aumentada.
Existe também o método pivotante para converter a matriz inicial A na identidade usando matrizes elementares, mantendo ao mesmo tempo o registo da multiplicação dessas matrizes elementares, que acaba por ser o inverso.
E1E2⋯EkA=I⇒E1E2⋯Ek=A−1
Há também métodos de invertibilidade baseados em algumas decomposições e, em última análise, as matrizes com estruturas úteis específicas podem ser processadas mais rapidamente em termos de encontrar o seu inverso utilizando métodos especializados, aplicáveis apenas a certas estruturas.
Qual é a fórmula para a matriz inversa?
Usando a fórmula adjunta, descobrimos que a fórmula para o inverso de uma matriz A é:
A−1=det(A)1adj(A)
À primeira vista, isto parece simples! Mas não é tanto quando o tamanho da matriz é grande. De facto, a fórmula acima diz-lhe que, para encontrar o inverso, é preciso calcular o determinante da matriz, e também é preciso calcular a matriz adjunta.
Ao contrário do que as aparências podem sugerir, isto pode ser muito trabalhoso, com o tamanho da matriz a ser grande (como n>4). Portanto, é bom termos uma fórmula compacta, mas isso não significa necessariamente que não seja trabalhosa.
Como se pode inverter uma matriz 2x2?
Primeiro, é preciso certificar-se de que det(A)=0>>. Assumindo que temos uma matriz 2x2, utilizaremos a fórmula adjunta. Que
A=[acbd]
por isso, utilizando a fórmula adjunta, obteríamos
A−1=det(A)1adj(A)=det(A)1CT
Para a matriz geral 2x2 A o seu determinante é
det(A)=ad−bc
Além disso, a matriz de co-factor é
C=(−1)1+1d(−1)2+1b(−1)1+2c(−1)2+2a=d−b−ca
Por isso, agora precisamos de transpor a matriz C>>:
CT=[d−b−ca]T=[d−c−ba]
Assim, finalmente, temos a fórmula para o inverso:
A−1=det(A)1CT=ad−bc1[d−c−ba]
Fácil o suficiente, huh? Quer tentar por 3x3?
Como encontrar o inverso de uma matriz 3x3?
O primeiro requisito, como com todas as matrizes, é calcular o determinante e certificar-se de que det(A)=0>>. Depois, precisamos de recordar a fórmula genérica do adjunto
A−1=det(A)1adj(A)=det(A)1CT
onde <C é a matriz de cofactores. Se escrevesse isto explicitamente, obteria algo como isto: para A uma matriz genérica 3x3:
Pronto para memorizar isso? Claro que não. Não que seja necessário, na verdade. Isto é apenas uma provocação de quão complicado se torna quando se tenta obter uma fórmula geral para uma simples matriz 3x3. Fica realmente confuso, e bastante inútil para n>3.
Portanto, é muito mais prático aplicar um conjunto de passos para encontrar o inverso:
Quais são os passos a seguir para calcular o inverso de uma matriz?
Passo 1:
Calcular o factor determinante da matriz A dada. Note-se que isto pode ser um cálculo que consome grandes matrizes, por isso use para calcular o determinante pela linha/coluna com o maior número de zeros.
Passo 2:
Calcular a matriz de co-factor associada à matriz A. É necessário calculá-la componente por componente, calculando o determinante da sub-matriz obtida pela remoção da linha i e coluna j, multiplicada pelo sinal (−1)i+j>. Mais uma vez aqui, ao calcular os sub-determinantes certifique-se de escolher a linha/coluna com o maior número de zeros.
Passo 3:
Uma vez obtido o determinante da matriz original e a matriz do co-factor, dividir cada componente da matriz do co-factor pelo determinante, e o resultado disso é, finalmente, a matriz inversa.
Como utilizar esta calculadora inversa
Especificar o tamanho da matriz
Escreva os números que determinam a matriz
Seleccione o método que prefere utilizar para calcular o inverso: "Adjoint Formula" ou "Reduced Row Echelon Form" (Fórmula Ajustada)
Clique em "Calcular Inverso"
Exemplo: Cálculo do inverso de uma dada matriz
Pergunta:
Considere a seguinte matriz:
A=121211141
Encontrar o seu inverso usando a fórmula adjunta.
Solução:
Precisamos de calcular o inverso de uma matriz 3×3 que tenha sido fornecida.