Mais sobre esta Calculadora Matricial Invertível com passos

O conceito de inverso de matriz irá aparecer em tantos contextos em Álgebra. Em primeiro lugar, para as matrizes, a ideia é poder operá-las de uma forma semelhante à que faríamos com os números. E, de facto, existem operações de soma , subtracção e multiplicação de matrizes .

Mas que tal a "divisão" de matrizes? Quando temos um número, 3, por exemplo, posso definir o inverso (multiplicativo) desse número, que eu poderia escrever como <\(3^{-1}\), ou mais comummente escrito como \(\displaystyle \frac{1}{3}\)>.

Uma propriedade crucial deste inverso é que quando multiplicado pelo número original, dá 1, isto é \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\)>>.

Como identificar e matriz invertível

• Descobrir que o seu determinante é diferente de zero
• Obtenha o seu forma de fileira-echelon e obter uma matriz diagonal sem zeros
• Descobrir que o RREF da matriz é a identidade

Como se define o inverso de uma matriz?

Para matrizes, o papel do "1" é desempenhado pela matriz de identidade \(I\), e dada uma matriz \(A\), diremos que <\(A^{-1}\) é o inverso de \(A\) se \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\)>.

Por outras palavras, o inverso de uma dada matriz \(A\) é uma matriz que tem a propriedade que multiplicando essa matriz pelo original , conduz à matriz identitária I.

Como é que se calcula a matriz inversa?

Há muitas, muitas formas diferentes de calcular o inverso de uma dada matriz \(A\)>>. Um dos métodos mais comummente utilizados é o fórmula em anexo que se baseia na calculadora de um monte de determinantes de sub-matrices obtidos pela remoção de uma linha e uma coluna de <\(A\)>.

Observe que esta calculadora inversa também lhe dá a opção de calcular o inverso usando o método de redução gaussiano para calcular a forma de linha reduzida do escalão de uma matriz aumentada.

Existe também o método pivotante para converter a matriz inicial \(A\) na identidade usando matrizes elementares, mantendo ao mesmo tempo o registo da multiplicação dessas matrizes elementares, que acaba por ser o inverso.

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

Há também métodos de invertibilidade baseados em algumas decomposições e, em última análise, as matrizes com estruturas úteis específicas podem ser processadas mais rapidamente em termos de encontrar o seu inverso utilizando métodos especializados, aplicáveis apenas a certas estruturas.

Qual é a fórmula para a matriz inversa?

Usando a fórmula adjunta, descobrimos que a fórmula para o inverso de uma matriz \(A\) é:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

À primeira vista, isto parece simples! Mas não é tanto quando o tamanho da matriz é grande. De facto, a fórmula acima diz-lhe que, para encontrar o inverso, é preciso calcular o determinante da matriz, e também é preciso calcular a matriz adjunta.

Ao contrário do que as aparências podem sugerir, isto pode ser muito trabalhoso, com o tamanho da matriz a ser grande (como \(n > 4\)). Portanto, é bom termos uma fórmula compacta, mas isso não significa necessariamente que não seja trabalhosa.

Como se pode inverter uma matriz 2x2?

Primeiro, é preciso certificar-se de que \(\det(A) \ne 0\)>>. Assumindo que temos uma matriz 2x2, utilizaremos a fórmula adjunta. Que

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

por isso, utilizando a fórmula adjunta, obteríamos

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Para a matriz geral 2x2 \(A\) o seu determinante é

\[ \det(A) = ad - bc\]

Além disso, a matriz de co-factor é

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Por isso, agora precisamos de transpor a matriz \(C\)>>:

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Assim, finalmente, temos a fórmula para o inverso:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Fácil o suficiente, huh? Quer tentar por 3x3?

Como encontrar o inverso de uma matriz 3x3?

O primeiro requisito, como com todas as matrizes, é calcular o determinante e certificar-se de que \(\det(A) \ne 0\)>>. Depois, precisamos de recordar a fórmula genérica do adjunto

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

onde <\(C\) é a matriz de cofactores. Se escrevesse isto explicitamente, obteria algo como isto: para \(A\) uma matriz genérica 3x3:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

obteríamos

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Para a matriz geral 3x3 \(A\) o seu determinante é

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

Além disso, a matriz de co-factor é

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

Por isso, agora precisamos de transpor a matriz \(C\)>>:

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

Assim, finalmente, temos a fórmula para o inverso:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

Pronto para memorizar isso? Claro que não. Não que seja necessário, na verdade. Isto é apenas uma provocação de quão complicado se torna quando se tenta obter uma fórmula geral para uma simples matriz 3x3. Fica realmente confuso, e bastante inútil para \(n > 3\).

Portanto, é muito mais prático aplicar um conjunto de passos para encontrar o inverso:

Quais são os passos a seguir para calcular o inverso de uma matriz?

Passo 1: Calcular o factor determinante da matriz A dada. Note-se que isto pode ser um cálculo que consome grandes matrizes, por isso use para calcular o determinante pela linha/coluna com o maior número de zeros.

Passo 2: Calcular a matriz de co-factor associada à matriz A. É necessário calculá-la componente por componente, calculando o determinante da sub-matriz obtida pela remoção da linha i e coluna j, multiplicada pelo sinal \((-1)^{i+j}\)>. Mais uma vez aqui, ao calcular os sub-determinantes certifique-se de escolher a linha/coluna com o maior número de zeros.

Passo 3: Uma vez obtido o determinante da matriz original e a matriz do co-factor, dividir cada componente da matriz do co-factor pelo determinante, e o resultado disso é, finalmente, a matriz inversa.

Como utilizar esta calculadora inversa

1. Especificar o tamanho da matriz
2. Escreva os números que determinam a matriz
3. Seleccione o método que prefere utilizar para calcular o inverso: "Adjoint Formula" ou "Reduced Row Echelon Form" (Fórmula Ajustada)
4. Clique em "Calcular Inverso"

Exemplo: Cálculo do inverso de uma dada matriz

Pergunta: Considere a seguinte matriz:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Encontrar o seu inverso usando a fórmula adjunta.

Solução: Precisamos de calcular o inverso de uma matriz \(3 \times 3\) que tenha sido fornecida.

Passo 1: Calcular o determinante da Matriz

Usando a fórmula sub-determinante que obtemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Uma vez que <\(\det(A) = 2 \ne 0\), concluímos que a matriz é invertível, e podemos continuar com o cálculo do inverso da matriz dada \(A\)>>.

Passo 2: Calcular a Matriz de Factor de Computação

Primeiro calculamos a matriz dos menores. Temos que, por definição, a matriz dos menores \(M\) é definida pela fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

onde neste caso <\( A^{i,j}\) é a matriz \(A\) após eliminação da linha \(i\)> e coluna \(j\)>>.

Portanto, e com base na matriz \(A\)> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <\(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

Para <\(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Para <\(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Para <\(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

Para <\(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Para <\(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

Resumindo, a matriz dos menores é:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor \(C\) usando a fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

Resumindo, a matriz de co-factor é:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Passo 3: Calcular a Matriz Adjunta a partir da Matriz de Co-factor

Agora, só precisamos de transpor a matriz de co-factor que encontrámos para calcular a matriz adjunta. Conseguimos:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Passo 4: Calcular o Inverso a partir da Matriz de Co-factor

Finalmente, precisamos de multiplicar \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) a cada componente da matriz adjunta. Assim obtemos:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

que conclui o cálculo do inverso da matriz \(A\)>>.