Calculadora Matrix RREF

A forma reduzida do escalão é um dos processos mais úteis na Álgebra Linear, e pode servir múltiplos propósitos.

O RREF é geralmente alcançado utilizando o processo de eliminação da Gaussiana. Em termos de aplicações, a forma reduzida do escalão de fila pode ser utilizada para resolver sistemas de equações lineares para calcular o inverso de uma matriz ou para encontrar decomposições matrizes úteis

O que é o rref de uma matriz?

A ideia da forma de escalão em linha é construir sistematicamente uma matriz equivalente através da utilização de matrizes elementares invertíveis, de modo a chegar a uma forma de escalão em linha, que é uma forma generalizada de uma forma triangular.

Utilizando uma abordagem de redução de filas, podemos obter uma matriz em forma de fila, usando pivôs não-zero .

Vantagens do RREF

• Esta calculadora RREF reduz a matriz a uma forma que é útil para muitos fins
• Por exemplo, se a forma final de RREF da matriz dada for a identidade , o a matriz é invertível
• Aumentando a matriz original, encontrar o formulário RREF permite construir o inverso utilizando matrizes elementares
• Fornece uma forma sistemática de resolver sistemas de equações lineares .

Como calcular a forma reduzida do escalão de fila?

Há diferentes abordagens que são possíveis e que pode utilizar. Mas a ideia principal é utilizar pivôs não zero para eliminar todos os valores na coluna que se encontram abaixo do pivô não zero, que é a base do procedimento chamado Eliminação Gaussiana.

Um dos elementos cruciais sobre esta redução é saber se uma matriz está em rref, por isso paramos o processo quando ele está.

Os passos seguintes devem ser seguidos:

Passo 1 : Verificar se a matriz já está em forma de escalão de fila reduzida. Se estiver, então pára, estamos feitos.

Passo 2 : Veja-se a primeira coluna. Se o valor na primeira linha não for zero, utilize-o como pivô. Se não, verifique a coluna para um elemento não zero, e permute as linhas se necessário para que o pivô esteja na primeira linha da coluna. Se a primeira coluna for zero, passe para a coluna seguinte à direita, até encontrar uma coluna que não seja zero.

Etapa 3 : Utilizar o pivot para eliminar todos os valores não nulos abaixo do pivot.

Passo 4 : Normalizar o valor do pivot para 1.

Passo 5 : Utilizar o pivot para eliminar todos os valores não nulos acima do pivot.

Passo 6 : Depois disso, se a matriz ainda não estiver em forma de fila, mover uma coluna para a direita e uma fila abaixo para procurar o próximo pivô.

Passo 7 : Repetir o processo, tal como acima. Procure um pivô. Se nenhum elemento for diferente de zero na nova posição pivot, ou abaixo, procurar à direita uma coluna com um elemento não zero na posição pivot ou abaixo, e permutar filas, se necessário. Em seguida, eliminar os valores abaixo do pivot.

Passo 7 : Continuar o processo pivotante até a matriz estar em forma de fileira reduzida.

Como se calcula um escalão de linha reduzido numa calculadora?

Nem todas as calculadoras conduzirão à eliminação da Gauss-Jordânia, mas algumas o fazem. Normalmente, basta introduzir a matriz correspondente para a qual se pretende colocar em forma de RREF.

Observe que para ter uma forma reduzida de escalão de fila é necessário ter também zeros ABOVER o pivô. Se não precisar, pode utilizar este calculadora de formulário de escalão de fila o que não reduz os valores acima do pivot

Esta calculadora permitir-lhe-á definir uma matriz (com qualquer tipo de expressão, como fracções e raízes, e não apenas números), e depois serão mostradas todas as etapas do processo de como chegar à forma final do escalão de fila reduzida.

A maioria das calculadoras utilizará uma linha elementar para fazer o cálculo, mas a nossa calculadora mostrar-lhe-á exactamente e em detalhe quais as matrizes elementares utilizadas em cada passo.

Como se resolve para uma solução RREF

Depende um pouco do contexto, mas uma forma é começar com um sistema linear de equações, representá-lo em forma matricial, caso em que a solução RREF quando se aumenta por valores do lado direito.

Outra opção é começar com uma matriz, e aumentá-la pela matriz de identidade, caso em que a solução RREF conduzirá ao inverso da matriz original.

Exemplo de forma reduzida de escalão de fila

Pergunta: Suponha que tem a seguinte matriz:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Encontrar a sua forma reduzida de escalão, mostrando todos os passos e as matrizes elementares correspondentes.

Solução: A matriz fornecida é uma matriz <\(3 \times 3\).

Precisamos de encontrar a forma reduzida do escalão de fila desta matriz.

Passo 1 : Operações utilizadas para reduzir a coluna \(1\)>:
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)>

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Passo 2 : Operação utilizada para reduzir a coluna \(1\)>:
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)>

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Para a coluna \(2\), todos os elementos abaixo do pivot já são zero, por isso não precisamos de eliminar.

Etapa 3 : Operações utilizadas para reduzir a coluna \(2\) acima do pivot:
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)>

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Passo 4 : Para a coluna \(3\) não encontramos um pivô porque a coluna é zero por isso passamos para a coluna seguinte.

Assim, concluímos que a matriz em forma de RREF é:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]