calculadora de matriz adjunta


Instruções: Utilize esta calculadora para encontrar o adjunto de uma matriz que forneça mostrando todos os passos. Primeiro, clique num dos botões abaixo para especificar a dimensão da matriz.

Depois, clicar na primeira célula e digitar o valor, e mover-se em torno da matriz pressionando "TAB" ou clicando nas células correspondentes, para definir TODOS os valores da matriz.


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Mais sobre esta calculadora de matriz adjunta.

Da mesma forma que os cofactores, a matriz adjunta está estreitamente associada ao inverso de uma matriz. De facto, a matriz inversa e a matriz adjunta são semelhantes.

Em toda a justiça, o conceito de adjunto de uma matriz desempenha um papel muito importante na matemática avançada (onde em vez de matrizes lidamos com operadores lineares). Mas na matemática universitária, as únicas vezes em que provavelmente tropeçará no adjunto é quando calcular o inverso de uma matriz utilizando a fórmula adjunta.

Como se encontra o adjunto de uma matriz?

Primeiro, em termos de como é calculado o adjunto de uma matriz, recordemos o matriz de menores que é calculado calculando o determinante das sub-matrices formadas pela remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz dada <AA>.

Assim, os menores foram definidos como:

Mij=detAi,j M_{ij} = \det A^{i,j}
Assistente de Matriz

Como chegar à matriz de co-factor?

O co-factor de matriz CC é obtido a partir dos menores acrescentando certos "sinais", e definido como:

Cij=(1)i+jMij C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

Finalmente, como se chega à matriz adjunta? Qual é a fórmula do adjunto?

Simples! Assim que tiver o matriz calculada de co-factor já, o que é necessário transpor a matriz a fim de obter o adjunto. Concretamente:

adj(A)=CT adj(A) = C^T

Assim, a fim de facilitar a memória, dividimos a fórmula do adjunto em 3 passos: Primeiro, calcula-se a matriz de menores, depois calculam-se os cofactores, e depois transpõemse os cofactores para obter o adjunto.

O adjunto e a transposição são os mesmos?

Embora o adjunto envolva a transposição de uma matriz, em geral o adjunto e as matrizes de transposição são diferentes um do outro.

Como se encontra o adjunto de uma matriz 4x4 ou maior?

O processo de encontrar o adjunto pode ser numericamente extenso, considerando que é necessário calcular n2n^2 sub-determinantes, que podem crescer rapidamente com n4n \ge 4>>.

calculadora de matriz adjunta

Exemplo de cálculo adjunto da Matriz

Pergunta: Considere a seguinte matriz

[231241111] \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}

Calcular a matriz adjunta associada adjAadj A>.

Solução:

Precisamos de calcular a matriz adjunta da matriz 3×33 \times 3 que foi fornecida:

Passo 1: Calcular a Matriz de Factor de Computação

Primeiro calculamos a matriz dos menores. Temos que, por definição, a matriz dos menores MM é definida pela fórmula

Mij=detAi,j M_{ij} = \det A^{i,j}

onde neste caso <Ai,j A^{i,j} é a matriz AA após eliminação da linha ii> e coluna jj>>.

Portanto, e com base na matriz AA> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <A1,1A^{ 1, 1}:

M11=detA11=4111=4(1)1(1)=3M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3

Para <A1,2A^{ 1, 2}:

M12=detA12=2111=2(1)1(1)=1M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A1,3A^{ 1, 3}:

M13=detA13=2411=2(1)1(4)=2M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2

Para <A2,1A^{ 2, 1}:

M21=detA21=3111=3(1)1(1)=2M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2

Para <A2,2A^{ 2, 2}:

M22=detA22=2111=2(1)1(1)=1M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1

Para <A2,3A^{ 2, 3}:

M23=detA23=2311=2(1)1(3)=1M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1

Para <A3,1A^{ 3, 1}:

M31=detA31=3141=3(1)4(1)=1M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1

Para <A3,2A^{ 3, 2}:

M32=detA32=2121=2(1)2(1)=0M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0

Para <A3,3A^{ 3, 3}:

M33=detA33=2324=2(4)2(3)=2M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2

Resumindo, a matriz dos menores é:

M=[312211102]M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix}

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor CC usando a fórmula

Cij=(1)i+jMij C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

C11=(1)1+13=(1)23=3 C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3 C12=(1)1+21=(1)31=1C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1 C13=(1)1+3(2)=(1)4(2)=2C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2 C21=(1)2+12=(1)32=2C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2 C22=(1)2+21=(1)41=1C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1 C23=(1)2+3(1)=(1)5(1)=1C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1 C31=(1)3+1(1)=(1)4(1)=1C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1 C32=(1)3+20=(1)50=0C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0 C33=(1)3+32=(1)62=2C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2

Resumindo, a matriz de co-factor é:

C=[312211102]C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix}

Passo 2: Calcular a Matriz Adjunta a partir da Matriz de Co-factor

Agora, só precisamos de transpor a matriz de co-factor que encontrámos para calcular a matriz adjunta. Conseguimos:

adj(A)=CT=[312211102]T=[321110212]adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix}

que conclui o cálculo da matriz adjunta.

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