Mais sobre esta calculadora de matriz adjunta.

Da mesma forma que os cofactores, a matriz adjunta está estreitamente associada ao inverso de uma matriz. De facto, a matriz inversa e a matriz adjunta são semelhantes.

Em toda a justiça, o conceito de adjunto de uma matriz desempenha um papel muito importante na matemática avançada (onde em vez de matrizes lidamos com operadores lineares). Mas na matemática universitária, as únicas vezes em que provavelmente tropeçará no adjunto é quando calcular o inverso de uma matriz utilizando a fórmula adjunta.

Como se encontra o adjunto de uma matriz?

Primeiro, em termos de como é calculado o adjunto de uma matriz, recordemos o matriz de menores que é calculado calculando o determinante das sub-matrices formadas pela remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz dada <\(A\)>.

Assim, os menores foram definidos como:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Como chegar à matriz de co-factor?

O co-factor de matriz \(C\) é obtido a partir dos menores acrescentando certos "sinais", e definido como:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

Finalmente, como se chega à matriz adjunta? Qual é a fórmula do adjunto?

Simples! Assim que tiver o matriz calculada de co-factor já, o que é necessário transpor a matriz a fim de obter o adjunto. Concretamente:

\[ adj(A) = C^T \]

Assim, a fim de facilitar a memória, dividimos a fórmula do adjunto em 3 passos: Primeiro, calcula-se a matriz de menores, depois calculam-se os cofactores, e depois transpõemse os cofactores para obter o adjunto.

O adjunto e a transposição são os mesmos?

Embora o adjunto envolva a transposição de uma matriz, em geral o adjunto e as matrizes de transposição são diferentes um do outro.

Como se encontra o adjunto de uma matriz 4x4 ou maior?

O processo de encontrar o adjunto pode ser numericamente extenso, considerando que é necessário calcular \(n^2\) sub-determinantes, que podem crescer rapidamente com \(n \ge 4\)>>.

Exemplo de cálculo adjunto da Matriz

Pergunta: Considere a seguinte matriz

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Calcular a matriz adjunta associada \(adj A\)>.

Solução:

Precisamos de calcular a matriz adjunta da matriz \(3 \times 3\) que foi fornecida:

Passo 1: Calcular a Matriz de Factor de Computação

Primeiro calculamos a matriz dos menores. Temos que, por definição, a matriz dos menores \(M\) é definida pela fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

onde neste caso <\( A^{i,j}\) é a matriz \(A\) após eliminação da linha \(i\)> e coluna \(j\)>>.

Portanto, e com base na matriz \(A\)> desde que obtenhamos os seguintes coeficientes da matriz de menores:

Para <\(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Para <\(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Para <\(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Para <\(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para <\(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Para <\(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Para <\(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Resumindo, a matriz dos menores é:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Agora, podemos calcular os elementos da matriz do cofactor \(C\) usando a fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

A fórmula acima pode ser utilizada directamente porque os menores já são conhecidos. Recebemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

Resumindo, a matriz de co-factor é:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Passo 2: Calcular a Matriz Adjunta a partir da Matriz de Co-factor

Agora, só precisamos de transpor a matriz de co-factor que encontrámos para calcular a matriz adjunta. Conseguimos:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

que conclui o cálculo da matriz adjunta.