Completamento del calcolatore quadrato

Qual è il significato di completare la piazza? Bene, l'idea è di avere il quadrato di qualcosa. Ogni volta che hai un'espressione quadratica della forma \(ax^2 + bx + c\), vorresti averla come "quadrato di qualcosa".

Analizzando l'espressione, l'unico quadrato che vedi è la parte \(a x^2\), che contiene il quadrato di \(x\), ma poi hai altre cose a parte il quadrato. Matematicamente, è sempre possibile mettere un'espressione quadratica della forma \(ax^2 + bx + c\) come "quadrato di qualcosa", ma potenzialmente dovremmo aggiungere una costante.

A volte, se quella costante è zero, otteniamo ciò che viene chiamato a quadrato perfetto .

Come completare la piazza? Completare i quadrati, o perfezionare il quadrato come è anche noto, è semplicemente il processo di mettere un'espressione quadratica \(ax^2 + bx + c\) nella forma del quadrato di un'espressione semplice, più possibilmente una costante. La procedura è semplice e si compone di vari passaggi.

Come si completa il quadrato

Fase 1: Assicurarsi che l'espressione passata sia quadratica, con un coefficiente diverso da zero moltiplicando il termine \(x^2\). In caso contrario, non è possibile eseguire questa procedura.

Passo 2: Ora che hai un termine quadratico corretto \(ax^2 + bx + c\), devi scomporre \(a\) (il termine che moltiplica \(x^2\)). Se \(a = 1\), allora lo lasci così com'è.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

Fase 3: Ora dovremo guardare il termine che è tra parentesi (o il termine originale se \(a = 1\)). Osserva che per una costante \(d\), abbiamo quella \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Quindi, lo osserviamo

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

Quindi, il termine \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) nell'espressione sopra è terribilmente simile a \(d\) in \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Quindi, in effetti, possiamo farlo

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Questo processo è chiamato risolvere completando il quadrato o perfezionare il quadrato .

Completamento degli esempi quadrati

Considera l'espressione: \(2x^2 + 2x + 1\). Innanzitutto, fattoriamo 2:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

Possiamo o memorizzare la formula data sopra, oppure puoi seguire la procedura di "forzare" il quadrato. Credo che quest'ultima sia l'opzione migliore, perché puoi sicuramente dimenticare la formula, ma non dimenticherai la procedura una volta lo impari. Quindi, guardiamo il termine \(x\) e forziamo il 2 davanti ad esso. Quindi otteniamo

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

Ora, guarda il termine tra parentesi a sinistra di \(x\). Al quadrato il termine, lo aggiungiamo e lo sottraiamo: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), quindi essenzialmente stiamo aggiungendo 0, quindi l'espressione non cambia:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

Quindi ora possiamo identificare i primi tre termini come un quadrato perfetto, quindi otteniamo:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

Perché si chiama perché è?

Ti starai chiedendo perché la procedura di completamento del quadrato è chiamata completamento del quadrato? Bene, l'ho menzionato all'inizio, quello che stiamo cercando di fare è ottenere un'espressione quadratica e riscriverla come il "quadrato di qualcosa", e ciò viene fatto aggiungendo la costante giusta in modo da "completare letteralmente il quadrato". Sommando (e sottraendo) questa costante, otteniamo un quadrato perfetto, più una costante, che permette di trovare questo "quadrato di qualcosa" che stavamo cercando

Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

È interessante notare che completare il quadrato equivale a risolvere un'equazione quadratica. Infatti, se vogliamo risolvere

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

ora sappiamo che possiamo completare il quadrato per ottenere:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

otteniamo che risolvere l'equazione quadratica equivale a risolvere

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

allora

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Quindi, come puoi usare, se completi il quadrato per risolvere un'equazione quadratica è esattamente lo stesso che usare la tradizionale formula quadratica.

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