Fattorizzazione di equazioni di secondo grado

Questa calcolatrice ti consente di calcolare una scomposizione fattoriale di un'equazione quadratica che fornisci. Devi fornire una funzione quadratica valida, ad esempio 5/4 x^2 +3x +1, ma potresti anche fornire una funzione quadratica non completamente semplificata, come 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/ 5 + 1/4 x, ad esempio, a condizione che l'equazione quadratica sia valida.

Naturalmente, fattorizzazione di funzioni quadratiche è strettamente correlato con risolvere equazioni di secondo grado , e vedremo che i fattori contengono facilmente le radici dell'equazione quadratica.

In realtà, trovare le radici di un'equazione quadratica è in genere il modo più comune per fattorizzare una funzione quadratica. L'altro metodo utilizza il metodo dello zero razionale.

Come fare una fattorizzazione quadratica?

Esistono almeno due approcci sistematici alla fattorizzazione delle equazioni quadratiche. Uno dei modi più comuni è il metodo per trovare prima le radici dell'equazione quadratica:

• Passaggio 1: identificare una data funzione quadratica e semplificarla completamente se necessario
• Passaggio 2: assicurati che la funzione sia nella forma f(x) = ax² + bx + c
• Passaggio 3: utilizzare la formula quadratica: \(x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) per trovare le radici \(x_1\) e \(x_2\)
• Passo 4: La fattorizzazione è Usa la formula quadratica: f(x) = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x-x₂)
• Passaggio 5: il metodo sopra funziona indipendentemente dal fatto che le radici siano reali o meno

Quindi, in altre parole, le radici delle equazioni quadratiche appaiono proprio lì nei termini monomiali.

Come fare la fattorizzazione quadratica con lo zero razionale?

Lo zero razionale è un teorema che ci consente di trovare un elenco di potenziali candidati razionali che potrebbero essere radici dell'equazione quadratica e, quindi, potrebbero essere utilizzati per fattorizzare l'equazione.

Quali sono i passaggi del teorema dello zero razionale?

• Passaggio 1: identificare una data funzione quadratica e semplificarla completamente se necessario
• Passaggio 2: assicurati che la funzione sia nella forma f(x) = ax² + bx + c
• Passaggio 3: trova i divisori interi (positivi e negativi) di c e a. Quindi prendi ogni singolo divisore di c e dividilo per ogni singolo divisore di a. Questo crea la tua lista di candidati razionali
• Passaggio 4: passa attraverso ciascuno degli elementi nell'elenco sopra e controlla se sono radici dell'equazione quadratica data o meno

Questo metodo funziona per la maggior parte dei casi, ma solo quando il corrispondente Equazione quadrata ha radici razionali.

Risolvere quadratica mediante fattorizzazione

Come abbiamo visto sopra, la risoluzione dei quadratici mediante fattorizzazione è strettamente correlata alla fattorizzazione del quadratico e, in effetti, sono un processo equivalente.

In effetti, se siamo riusciti a fattorizzare una funzione quadratica, allora dobbiamo semplicemente guardare i termini monomiali e ottenere subito le radici. .

E viceversa, se abbiamo trovato le radici, sappiamo che la fattorizzazione è semplicemente a(x - x₁)(x-x₂).

Esempio: esempio di metodo di fattorizzazione

Fattorizzare: \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)

Soluzione:

Ci viene fornita la seguente espressione quadratica: \(\displaystyle x^2-3x-5\).

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo cercare di fattorizzare è \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]

Ora, dobbiamo trovare i numeri interi che dividono \(a\) e \(c\), che saranno usati per costruire i nostri candidati come fattori.

I divisori di \(a = 1\) sono: \(\pm 1\).

I divisori di \(c = -5\) sono: \(\pm 1,\pm 5\).

Pertanto, dividendo ogni divisore di \(c = -5\) per ogni divisore di \(a = 1\), troviamo il seguente elenco di candidati come fattori:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Quindi, nessuno dei candidati è una radice, e quindi questo metodo non ci permette di trovare i fattori.

Usando la formula quadratica

Dal momento che non siamo riusciti a trovare le radici usando i potenziali candidati razionali, usiamo solo la formula quadratica. Si ottiene quanto segue:

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo risolvere è \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-5\right) = 29\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\), che è positivo, sappiamo che l'equazione ha due radici reali diverse.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

allora, troviamo che:

\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]

Pertanto, l'equazione data \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) ha due diverse radici reali, che sono \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) e \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\).

Pertanto, dato che ci sono due radici reali, la data funzione quadratica può essere fattorizzata come

\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]

Esempio: fattorizzazione di espressioni quadratiche

Calcolare la fattorizzazione di: \( 3x^2 - 2x + 15\). La fattorizzazione è reale?

Soluzione:

Ci viene fornita la seguente espressione quadratica: \(\displaystyle 3x^2-2x+15\).

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo cercare di fattorizzare è \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]

Ora, dobbiamo trovare i numeri interi che dividono \(a\) e \(c\), che saranno usati per costruire i nostri candidati come fattori.

I divisori di \(a = 3\) sono: \(\pm 1,\pm 3\).

I divisori di \(c = 15\) sono: \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\).

Pertanto, dividendo ogni divisore di \(c = 15\) per ogni divisore di \(a = 3\), troviamo il seguente elenco di candidati come fattori:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:&    & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:&    & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Quindi, nessuno dei candidati è una radice, e quindi questo metodo non ci permette di trovare i fattori.

Usando la formula quadratica

Dal momento che non siamo riusciti a trovare le radici usando i potenziali candidati razionali, usiamo solo la formula quadratica. Si ottiene quanto segue:

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo risolvere è \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(15\right) = -176\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\), che è negativo, sappiamo che l'equazione data ha due diverse radici complesse coniugate.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]

allora, troviamo che:

\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]

Pertanto, l'equazione data \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) ha due diverse radici complesse coniugate, che sono \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) e \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\).

Pertanto, dato che ci sono due radici complesse, la data funzione quadratica ha la seguente fattorizzazione complessa:

\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]

Esempio: come risolvere equazioni quadratiche

Risolvi la seguente equazione quadratica mediante fattorizzazione: \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \).

Soluzione:

Ci viene fornita la seguente espressione quadratica: \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\).

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo cercare di fattorizzare è \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]

Ora, dobbiamo trovare i numeri interi che dividono \(a\) e \(c\), che saranno usati per costruire i nostri candidati come fattori.

I divisori di \(a = 1\) sono: \(\pm 1\).

Il coefficiente \(c = \frac{9}{4}\) non ha divisori interi.

Quindi, non possiamo usare questo metodo per trovare i fattori.

Usando la formula quadratica

Dal momento che non siamo riusciti a trovare le radici usando i potenziali candidati razionali, usiamo solo la formula quadratica. Si ottiene quanto segue:

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo risolvere è \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(\frac{9}{4}\right) = 0\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\), che è zero, sappiamo che l'equazione ha una sola radice reale.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]

allora, troviamo che:

\[x = -\frac{3}{2}\]

Pertanto, l'equazione data \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) ha una sola radice reale, che è \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\).

Pertanto, dato che esiste una sola radice reale, una data funzione quadratica può essere scomposta come

\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]

Altre calcolatrici quadratiche

L'importanza di espressioni quadratiche non può essere sopravvalutato. risolvere equazioni di secondo grado sarà uno dei tuoi strumenti più potenti quando lavori in Algebra in tutti i tipi di applicazioni. .

Il grafico della funzione quadratica ha la forma di una parabola, che presenta ogni sorta o notevoli simmetrie, con a vertice che rappresenta un punto notevole della parabola che la "sostiene" e un orientamento definito dall'apertura verso l'alto o verso il basso.