Fattorizzazione polinomiale

Questa calcolatrice di tipo polinomiale è un tipo di calcolatrice di tipo polinomiale che vi permetterà di mettere un'espressione come una moltiplicazione di fattori irriducibili.

È sufficiente fornire un polinomio che si desidera fattorizzare. Può essere un polinomio di grado inferiore già semplificato, come x^2 - 2x + 3, oppure si possono fornire polinomi di ordine superiore che richiedono una semplificazione, come x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.

Una volta fornito un file valido espressione polinomiale per fare ciò, è necessario fare clic sul pulsante "Calcola", in modo da visualizzare tutte le fasi del processo.

Sebbene siano tra le espressioni più semplici da fattorizzare, i polinomi sono comunque difficili da trattare in generale, in particolare i polinomi di grado superiore a 5.

Come fattorizzare i polinomi

L'unico modo sistematico per fattorizzare i polinomi è trovare le radici o gli zeri. Conoscendo le radici si potranno trovare i fattori, grazie al Teorema fondamentale dell'algebra.

Ad esempio, per un polinomio di grado 3, se ci sono tre radici \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\), il Teorema fondamentale dell'Algebra dice che il polinomio può essere scritto come:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

per una costante \(a\), e lo stesso accadrebbe per un polinomio di grado \(n\), con radici \(n\) \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) e \(x_n\), che può essere scritto come:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

Quali sono i passaggi per la fattorizzazione dei polinomi?

• Passo 1: Individuare il polinomio da fattorizzare e fare qualsiasi ovvietà semplificazioni delle espressioni se esiste
• Passo 2: Trova il radici polinomiali utilizzando un metodo adeguato, in funzione del grado del polinomio
• Passaggio 3: Se il polinomio ha grado 2, utilizzare l'opzione formula quadratica altrimenti, utilizzare l'opzione Teorema zero razionale
• Passaggio 4: Una volta trovate tutte le radici, si può esprimere la fattorizzazione finale come \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \)

L'aspetto positivo della ricerca delle radici dei polinomi è che è possibile trovare una radice alla volta e semplificare progressivamente il problema. Vi mostrerò come:

Supponiamo di avere un polinomio \(P(x)\) di cui vogliamo trovare tutte le radici. Diciamo che il polinomio ha grado 5, quindi ci aspettiamo 5 radici, alcune delle quali non reali (complesse).

Supponiamo che per pura fortuna si sia trovata una radice, chiamiamola \(x_1\). Allora, in base al Teorema fondamentale dell'algebra, sappiamo che \(x-x_1\) divide \(P(x)\), quindi \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), dove \(Q(x)\) è un polinomio di grado 4.

Vi chiederete: "Come si ottiene Q(x)?". Il semplice \(Q(x)\) si ottiene utilizzando Divisione Lunga per dividere \(P(x)\) per \(x-x_1\). Sappiamo che il il resto è zero perché \(x_1\) è una radice.

Non dimenticate che state cercando di risolvere \(P(x) = 0\), quindi ora dobbiamo risolvere \(Q(x)(x-x_1)\), che si riduce a risolvere \(Q(x) = 0\). Quindi ora abbiamo un altro Equazione polinomiale solo che è più semplice dell'originale. E poi si procede con questo cercando di trovare una soluzione e ripetendo poi il processo.

Esiste un modo più semplice per fattorizzare completamente i polinomi?

Non proprio. Aneddoticamente, si può fattorizzare esplodendo alcune strutture specifiche, si può fattorizzare raggruppando, se possibile, oppure si possono sfruttare alcune ovvie opportunità di fattorizzazione, come ad esempio un'espressione come \(x^4 + x^2\) si presta ovviamente a fattorizzare \(x^2\).

Ma tutti questi trucchi dipendono dalla struttura, cioè hanno bisogno di una struttura semplificata specifica per funzionare, e non sono affatto modi generali di affrontare il problema.

Per i polinomi, l'equazione in forma fattorizzata e le radici effettive forniscono le stesse informazioni, a eccezione di una costante, che è la costante che accompagna il termine principale (il termine con l'esponente più alto).

Perché fattorizzare i polinomi

Molto semplice, perché è il modo per risolvere le equazioni. Non possiamo saltare il processo di fattorizzazione dei polinomi, perché è strettamente legato al processo di risoluzione delle equazioni polinomiali.

Lo stesso accade con le equazioni più generali, dove la fattorizzazione può aiutare a scomporre un'equazione complicata in altre più semplici. Risolvere le equazioni si scompone in problemi più semplici se si è in grado di fattorizzare e ridurre efficacemente le espressioni.

Esempio: uso della fattorizzazione dei polinomi per risolvere le equazioni

Risolvere la seguente equazione: \(x^5 = -x^3\)

Soluzione: L'approccio abituale consiste nel mettere tutto su un lato dell'equazione. Se il vostro primo riflesso è quello di cancellare x^2 da entrambi i lati dell'equazione, astenetevi perché così facendo perderete soluzioni. Vedrete perché. Quindi iniziamo in questo modo

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

e ora possiamo escludere \(x^2\):

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

Ora, usiamo il vecchio trucco che ci dice che \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), che significa che

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

Ora che il lato sinistro dell'equazione è stato completamente fattorizzato, vediamo che dobbiamo risolvere

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

quindi dobbiamo risolvere:

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

Ora usiamo i suoi fattori per trovare le soluzioni; tutto ciò che dobbiamo fare è impostare i fattori uguali a zero. Le soluzioni dell'equazione sono \(x = 0\), \(x = -1\) e \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).

Altri calcolatori polinomiali

I polinomi sono oggetti molto utili in Algebra, in Calcolo e in Fisica, e sono abbastanza semplici da avere alcuni teoremi molto generali e utili, come il Teorema Fondamentale dell'Algebra (che afferma che tutti i polinomi sono in grado di funzionare) equazioni polinomiali ha molte soluzioni complesse come grado).

Tuttavia, i polinomi sono sufficientemente difficili da fornirci qualche equazioni polinomiali E disuguaglianze polinomiali che non può essere risolto con i metodi elementari, e sarà necessario cercare di ridurre il grado del polinomio utilizzando la funzione Divisione polinomiale e il Teorema Del Resto .

Quindi, quando si ha a che fare con oggetti più complessi dei polinomi, è ragionevole pensare che sia necessario un Calcolatore di fattori in grado di rilevare strutture complesse e di applicare diverse identità per raggiungere una corretta fattorizzazione, e in definitiva non è sempre possibile.