Ulteriori informazioni su questa calcolatrice di equazioni esponenziali

Lo scopo principale di questa calcolatrice è quello di risolvere le equazioni esponenziali fornite dall'utente e di mostrare la soluzione con tutti i passaggi. Ad esempio, si può digitare un'equazione del tipo '9^x + 3^x = 4'.

Una volta che si è soddisfatti dell'equazione digitata, si fa clic su "Risolvi", in modo che vengano fornite le fasi della soluzione, con tutti i passaggi necessari.

Le equazioni esponenziali vengono solitamente risolte utilizzando alcune delle diverse leggi degli esponenti.

Che cos'è un'equazione esponenziale

Un'equazione esponenziale è, in parole povere, un'equazione di Equazione algebrica in cui l'incognita (x) compare come esponente. Ad esempio,

\[\displaystyle 2^x = 4 \]

è un'equazione esponenziale semplice, perché la variabile incognita che vogliamo risolvere (x), appare come un esponente, con base 2. Ora si hanno equazioni esponenziali più complicate, come l'esempio seguente:

\[\displaystyle \cos(2^x) + e^x = 4x \]

What are the steps for solving exponential equations

• Passo 1: Assicurarsi di avere a che fare con un'equazione esponenziale, per la quale è necessario verificare se x compare come esponente
• Passo 2: È importante assicurarsi di lavorare con un'equazione esponenziale. In caso contrario, è probabile che si debba utilizzare un approccio diverso
• Passaggio 3: Siate consapevoli che non tutte le equazioni esponenziali che incontrerete saranno facili da risolvere, o addirittura potreste non essere in grado di risolverle
• Passaggio 4: La strategia principale consiste nel cercare di raggruppare tutte le parti esponenziali in un'unica espressione esponenziale, se possibile. Ad esempio, se si ha un'equazione come \(2^x 2^y = 4\), la si deve riscrivere come \(2^{x+y} = 2^2\)
• Passaggio 5: Mettete tutto ciò che dipende da x (e tutte le incognite) da una parte e il resto dall'altra
• Passaggio 6: Poi, si cerca di mettere insieme tutte le parti esponenziali in una sola, in modo da provare a equiparare gli esponenti

L'idea principale è quella di raggruppare il più possibile gli esponenti in modo da poter eliminare la base, come potete immaginare. In altre parole, la strategia per risolvere un'equazione esponenziale consiste nel liberarsi della parte esponenziale.

Come si trova l'equazione esponenziale?

Le equazioni esponenziali appaiono naturalmente in diversi contesti dell'algebra. Per esempio, sono molto comuni quando si tratta di modelli di popolazione e di tassi di crescita o quando si affrontano problemi applicativi sul decadimento radioattivo e sul tempo di dimezzamento .

In genere, è il contesto a dettare il tipo di base e di esponente da trovare o da utilizzare per risolvere un'equazione esponenziale. Ad esempio, si potrebbe avere il caso di un microrganismo che inizia a duplicarsi ogni ora e si vorrebbe sapere quante ore mancano prima che la popolazione del microrganismo raggiunga 1.000.000.

In questo contesto, non è difficile rendersi conto che la popolazione dopo \(x\) ore è \(2^x\), e quindi dall'impostazione del problema, si vuole risolvere l'equazione :

\[\displaystyle 2^x = 1,000,000 \]

Quali sono gli usi fondamentali delle equazioni esponenziali?

• Utilizzo 1: Modellazione della crescita della popolazione basata sulla crescita esponenziale
• Utilizzo 2: Modellare il decadimento esponenziale e calcolare l'emivita, ad esempio quella dei materiali radioattivi
• Utilizzo 3: Applicazioni finanziarie per il compounding continuo

Le idee principali dell'algebra legate alle equazioni esponenziali sono la crescita esponenziale e il decadimento, che si osservano negli esempi sopra descritti.

Come si trova una funzione esponenziale con due punti?

Le funzioni esponenziali sono importanti perché sono i componenti principali di un'equazione esponenziale. È possibile utilizzare questa Calcolatore Di Funzione Esponenziale per trovare la funzione da due punti.

Esistono altri modi per determinare la funzione esponenziale, ovvero utilizzando l'approccio del valore iniziale e del tasso di crescita; in questo caso è possibile utilizzare la stessa calcolatrice del link precedente.

È certamente utile avere un calcolatrice di equazioni esponenziali con passaggi in questo modo si eliminano le congetture su ciò che è necessario fare per risolvere l'equazione, anche se spesso si scopre che non tutte le equazioni possono essere risolte con i metodi che conosciamo.

Esempio: calcolo di una semplice equazione esponenziale

Risolvere: \(2^{2x+1} = 4\)

Soluzione: La seguente equazione deve essere risolta:

\[2^{2x+1}=4\]

Osserviamo che:

Ponendo \(x\) sul lato sinistro e la costante sul lato destro otteniamo

\[\displaystyle 2x = 1\]

Quindi, risolvendo per \(x\), dividendo entrambi i lati dell'equazione per \(2\), si ottiene quanto segue

\[\displaystyle x=\frac{1}{2}\]

Pertanto, troviamo che l'equazione ausiliaria ha un'unica soluzione reale, che è: \(x = \frac{1}{2}\)

Inserendo nuovamente questo valore nell'equazione originale si conferma che si tratta di una soluzione. che conclude il calcolo.

Esempio: risoluzione di equazioni esponenziali per sostituzione

Risolvere il seguente problema: \(9^x + 3^x = 4\)

Soluzione: Abbiamo la seguente equazione:

\[9^x+3^x=4\]

Quindi:

Risolvendo questa equazione razionale nella variabile \(u\), e poi usando quella \(u = 3^x\), otteniamo le soluzioni \[x_1=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{4i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]
\[x_2=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{3i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{5i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]

Pertanto, la soluzione di \(x\) per l'equazione data porta alle soluzioni \(x=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)},\,\,x=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\), per \(K_1, K_2\) costanti intere arbitrarie.

Soluzioni reali

L'equazione data ha soluzioni sia complesse che reali. La soluzione reale individuata è \(x=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\).

Altre calcolatrici di equazioni

Altre operazioni correlate che potreste voler fare sono risolvere equazioni di secondo grado , o risolvere un'equazione lineare che, nel grande schema delle cose, sono le più facili da risolvere e garantiscono di trovare tutte le soluzioni.

Si può anche utilizzare un elemento risolutore di equazioni trigonometriche per affrontare quelle equazioni trigonometriche spesso complicate che si presentano di tanto in tanto.

Utilizzando un calcolatore di equazioni come quelli a cui si fa riferimento si vedrà chiaramente come si risolve l'equazione, e se un'equazione non può essere risolta, qual è il punto in cui ce ne rendiamo conto, o semplicemente perché non possiamo farlo.