Il calcolatore della crescita esponenziale

Usa questo calcolatore di crescita esponenziale per specificare una funzione che cresce, fornendo il suo valore iniziale e la sua crescita (o tasso di decadimento). Per ottenere un tasso di crescita valido, fornire un tasso positivo.

Inoltre, hai la possibilità di decidere come si comporta questo tasso, annuale o continuo. Quindi fai clic su "Calcola" per ottenere tutti i passaggi mostrati.

La crescita esponenziale è un comportamento algebrico che ha molti usi nella vita reale, dalla finanza all'economia, dalle scienze sociali alla biologia. Rappresenta una crescita che viene aggravata ogni periodo da un certo tasso (o percentuale).

Un modo di vedere è che il tasso di cambio è proporzionale alla dimensione della funzione.

Formula di crescita esponenziale

Si dice che una funzione \(f(t)\) ha un comportamento di crescita esponenziale se può essere espressa come:

\[f(t) = A_0 (1 + r)^t \]

Per la formula sopra, \(r\) corrisponde al tasso di crescita, espresso in numero decimale o in percentuale (sono equivalenti).

In genere, ti verrà fornito il tasso di crescita composto e il valore iniziale \(A_0\), ma a volte ti verranno fornite informazioni sulla funzione e dovrai dedurre i parametri \(r\) e \(A_0\).

Per la formula di crescita esponenziale di cui sopra, esiste un caso speciale in cui il tasso viene composto continuamente, nel qual caso la formula diventa

\[f(t) = A_0 e^{rt} \]

Tipicamente, crescita esponenziale le funzioni rappresentano il denaro, ma come abbiamo detto prima, possono rappresentare una varietà di fenomeni, come la crescita della popolazione.

Questo tipo di fenomeni può essere visto riflesso nella curva esponenziale, che inizia relativamente piatta, ma aumenta rapidamente.

Applicazioni di crescita esponenziale

Puoi usare questo Calcolatore di funzione esponenziale per diversi tipi di modelli, a condizione di conoscere i parametri richiesti.

Un tipico modello di questo tipo coinvolge popolazioni specifiche che crescono rapidamente. Questo può accadere a batteri, insetti e persino alla popolazione umana. Di solito, con la rapida crescita della popolazione, la competizione per le risorse diventa stringente e la crescita smette di essere esponenziale.

Osserva che questa calcolatrice ti fornirà anche il grafico della funzione esponenziale risultante.

In che modo la crescita esponenziale e il decadimento esponenziale sono correlati?

La crescita esponenziale e il decadimento esponenziale sono assolutamente analoghi e la differenza principale è che il tasso \(r\) nella crescita esponenziale è positivo ed è negativo nel decadimento esponenziale.

Puoi anche usare questo Calcolatore Di Decadimento Esponenziale per il comportamento esponenziale inverso ma analogo, che corrisponde al decadimento esponenziale, dove il tasso di crescita ora è negativo.

Quindi, come faccio a sapere se si tratta di crescita o decadimento? Semplice, guardi solo il tasso, e se è positivo, allora hai una crescita e se è negativo, allora hai un decadimento.

Sia il calcolatore di crescita esponenziale che di decadimento ti mostreranno tutti i passaggi, che essenzialmente consistono nel risolvere due equazioni simultanee con due incognite

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Crescita esponenziale da due punti

Ora, potresti volerlo calcolare una funzione esponenziale da due punti dove si sa che passa.

Ma come trovi il tasso di crescita esponenziale con due punti? Si inizia con un'equazione esponenziale generica della forma \(f(t) = A_0 e^{r t}\). Questa equazione ha due incognite che sono \(A_0\) e \(k\).

Quindi inserendo due punti \((t_1, y_1)\) e \((t_2, y_2)\) in \(f(t) = A_0 e^{r t}\), avrai due equazioni con due incognite, che saranno risolvibili a condizione che \(t_1 \ne t_2\), il che ha senso, perché non vogliamo due punti con il stessa coordinata x.