En savoir plus sur cette calculatrice d'équations exponentielles

L'objectif principal de cette calculatrice est de résoudre les équations exponentielles que vous fournissez et de vous montrer la solution en tenant compte de toutes les étapes. Par exemple, vous pouvez saisir une équation telle que "9^x + 3^x = 4".

Une fois que vous êtes satisfait de l'équation que vous avez saisie, vous cliquez sur "Solve", ce qui vous permet d'obtenir les étapes de la solution, avec toutes les étapes nécessaires.

Les équations exponentielles sont généralement résolues en utilisant certaines des différentes lois des exposants.

Qu'est-ce qu'une équation exponentielle ?

Une équation exponentielle est, en termes simples, une Equation d'algèbre dans laquelle l'inconnue (x) apparaît sous forme d'exposant. Par exemple,

\[\displaystyle 2^x = 4 \]

est une équation exponentielle simple, parce que la variable inconnue que nous voulons résoudre (x), apparaît comme un exposant, avec une base 2. Il existe maintenant des équations exponentielles plus compliquées, comme dans l'exemple ci-dessous :

\[\displaystyle \cos(2^x) + e^x = 4x \]

Quelles sont les étapes de la résolution des équations exponentielles ?

• Étape 1 : Assurez-vous qu'il s'agit bien d'une équation exponentielle, pour laquelle vous devez vérifier si x apparaît comme un exposant
• Étape 2 : Il est important de s'assurer que vous travaillez avec une équation exponentielle. Si ce n'est pas le cas, vous devrez probablement utiliser une approche différente
• Étape 3 : Sachez que toutes les équations exponentielles que vous rencontrerez ne seront pas faciles à résoudre, voire que vous ne pourrez pas les résoudre
• Étape 4 : La principale stratégie consiste à essayer de regrouper toutes les parties exponentielles dans une seule expression exponentielle, si possible. Par exemple, si vous avez une équation comme \(2^x 2^y = 4\), vous voudrez la réécrire sous la forme \(2^{x+y} = 2^2\)
• Étape 5 : Mettez tout ce qui dépend de x (et toutes les inconnues) d'un côté et le reste de l'autre côté
• Étape 6 : Ensuite, vous essayez de rassembler toutes les parties exponentielles en une seule, de sorte que vous essayez de mettre en équation les exposants

L'idée principale est de regrouper les exposants autant que possible afin, comme vous pouvez l'imaginer, d'éliminer la base. En d'autres termes, la stratégie pour résoudre une équation exponentielle consiste à se débarrasser de la partie exponentielle de l'équation.

Comment trouver l'équation exponentielle ?

Les équations exponentielles apparaissent naturellement dans différents contextes de l'algèbre. Par exemple, elles sont très courantes lorsqu'il s'agit de modèles de population et d'équations exponentielles taux de croissance , or when dealing with application problems about radioactive decay and demi-vie .

Généralement, le contexte dicte le type de base et d'exposant que vous trouverez ou que vous utiliserez pour résoudre une équation exponentielle. Par exemple, dans le cas d'un micro-organisme qui commence à se dupliquer toutes les heures, vous aimeriez savoir combien d'heures s'écouleront avant que la population de micro-organismes n'atteigne 1 000 000.

Dans ce contexte, il n'est pas difficile de réaliser que la population après \(x\) heures est \(2^x\), et donc, d'après le cadre du problème, nous voulons résoudre l'équation :

\[\displaystyle 2^x = 1,000,000 \]

Quelles sont les utilisations de base des équations exponentielles ?

• Utiliser 1 : Modélisation de la croissance de la population sur la base d'une croissance exponentielle
• Utiliser 2 : Modélisation de la décroissance exponentielle et calcul de la demi-vie, par exemple celle des matières radioactives
• Use 3 : Applications financières de la composition continue

Les principales idées d'algèbre liées aux équations exponentielles sont la croissance et la décroissance exponentielles qui sont observées dans les exemples détaillés ci-dessus.

Comment trouver une fonction exponentielle à deux points ?

Les fonctions exponentielles sont importantes car elles sont les principaux composants d'une équation exponentielle. Vous pouvez utiliser cette Calculatrice De Fonction Exponentielle pour trouver la fonction à partir de deux points.

Il existe d'autres façons de déterminer la fonction exponentielle, notamment en utilisant l'approche de la valeur initiale et du taux de croissance, auquel cas vous pouvez utiliser la même calculatrice à partir du lien ci-dessus.

Il est certainement utile d'avoir un calculatrice d'équations exponentielles avec étapes vous découvrirez souvent que toutes les équations ne peuvent pas être résolues à l'aide des méthodes que nous connaissons.

Exemple : calcul d'une équation exponentielle simple

Résoudre : \(2^{2x+1} = 4\)

Solution : L'équation suivante doit être résolue :

\[2^{2x+1}=4\]

Nous constatons que :

En plaçant \(x\) du côté gauche et la constante du côté droit, nous obtenons

\[\displaystyle 2x = 1\]

Ensuite, en résolvant \(x\), en divisant les deux côtés de l'équation par \(2\), on obtient ce qui suit

\[\displaystyle x=\frac{1}{2}\]

Par conséquent, nous constatons que l'équation auxiliaire a une seule solution réelle, qui est : \(x = \frac{1}{2}\)

La réintégration de cette valeur dans l'équation originale confirme qu'il s'agit d'une solution, ce qui conclut le calcul.

Exemple : résolution d'équations exponentielles par substitution

Résolvez la question suivante : \(9^x + 3^x = 4\)

Solution : Nous avons l'équation suivante :

\[9^x+3^x=4\]

C'est ainsi :

En résolvant cette équation rationnelle dans la variable \(u\), puis en utilisant \(u = 3^x\), on obtient les solutions \[x_1=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{4i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]
\[x_2=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{3i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{5i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]

Par conséquent, la résolution de \(x\) pour l'équation donnée conduit aux solutions \(x=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)},\,\,x=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\), pour \(K_1, K_2\) constantes entières arbitraires.

Solutions réelles

L'équation donnée a des solutions à la fois complexes et réelles. La solution réelle identifiée est \(x=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\).

Plus de calculatrices d'équations

Voici d'autres opérations connexes que vous pouvez effectuer résoudre des équations quadratiques , ou résoudre une équation linéaire qui, dans l'absolu, sont les plus faciles à résoudre et garantissent de trouver toutes les solutions.

Vous pouvez également utiliser un solveur d'équations trigonométriques le logiciel de calcul de la trigonométrie permet de traiter les équations trigonométriques souvent délicates qui apparaissent de temps à autre.

En utilisant un calculatrice d'équations si une équation ne peut pas être résolue, à quel moment nous nous en rendons compte, ou pourquoi nous ne pouvons pas le faire.