Calculerur de demi-vie
Instructions: Utilisez ce calculateur de demi-vie étape par étape pour trouver la demi-vie d'une fonction qui a une décroissance exponentielle. Vous devez spécifier les paramètres de la fonction de décroissance exponentielle, ou fournir deux points \((t_1, y_1)\) et \((t_2, y_2)\) où la fonction passe.
Considérez la fonction
\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]En savoir plus sur cette calculatrice Half Life
L'idée derrière le concept de demi-vie est de savoir combien de temps il faut pour qu'une fonction diminue sa valeur de moitié.
Ce concept est fortement motivé par désintégration radioactive , dans lequel la matière radioactive se désintègre de façon exponentielle, et il y a la propriété que pour chaque matière radioactive spécifique, son contenu est réduit de moitié tous les certain nombre d'années. La période de temps est la demi-vie
En général, si nous considérons une fonction de décroissance exponentielle:
\[f(t) = A_0 b^{-kt}\]nous voulons voir que \(f(0) = A_0\), et nous voulons trouver \(h\) afin que \(f(h) = A_0/2\). À cette fin, nous remarquons que
\[\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b\]\ \[\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}\]Et si vous devez trouver la fonction exponentielle à partir de deux points par lesquels elle passe?
Dans ce cas, nous aurions besoin de résoudre:
\[y_1 = A_0 b^{-kt_1}\] \[y_2 = A_0 b^{-kt_2}\]et pour résoudre \(A\) et \(k\), puis appliquer directement la formule ci-dessus pour trouver la demi-vie \(h\).
Comment calculez-vous la demi-vie?
La demi-vie est calculée en trouvant algébriquement le temps nécessaire à une fonction pour diminuer de moitié, comme indiqué dans la section ci-dessus. Pour la majorité des fonctions, le temps nécessaire pour que la fonction diminue de moitié dépend du point de départ.
Mais pour les fonctions à décroissance exponentielle, le temps nécessaire à la fonction pour réduire sa valeur de moitié est indépendant du point de départ.
Comment calculez-vous la décomposition en utilisant la demi-vie?
Naturellement, le taux de décroissance et une fonction de décroissance exponentielle elle-même sont étroitement liés à la demi-vie. En effet, supposons que la demi-vie \(h\) est connue, et \(A_0\) est le montant initial (à \(t = 0\)). Ensuite, la fonction de décroissance exponentielle peut être écrite comme suit:
\[f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}\]