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L'idée derrière le concept de demi-vie est de savoir combien de temps il faut pour qu'une fonction diminue sa valeur de moitié.

Ce concept est fortement motivé par désintégration radioactive , dans lequel la matière radioactive se désintègre de façon exponentielle, et il y a la propriété que pour chaque matière radioactive spécifique, son contenu est réduit de moitié tous les certain nombre d'années. La période de temps est la demi-vie

En général, si nous considérons une fonction de décroissance exponentielle:

$$f(t) = A_0 b^{-kt}$$

nous voulons voir que $f(0) = A_0$, et nous voulons trouver $h$ afin que $f(h) = A_0/2$. À cette fin, nous remarquons que

$$\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}$$ $$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}$$ \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] $$\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b$$\ $$\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}$$

Et si vous devez trouver la fonction exponentielle à partir de deux points par lesquels elle passe?

Dans ce cas, nous aurions besoin de résoudre:

$$y_1 = A_0 b^{-kt_1}$$ $$y_2 = A_0 b^{-kt_2}$$

et pour résoudre $A$ et $k$, puis appliquer directement la formule ci-dessus pour trouver la demi-vie $h$.

Comment calculez-vous la demi-vie?

La demi-vie est calculée en trouvant algébriquement le temps nécessaire à une fonction pour diminuer de moitié, comme indiqué dans la section ci-dessus. Pour la majorité des fonctions, le temps nécessaire pour que la fonction diminue de moitié dépend du point de départ.

Mais pour les fonctions à décroissance exponentielle, le temps nécessaire à la fonction pour réduire sa valeur de moitié est indépendant du point de départ.

Comment calculez-vous la décomposition en utilisant la demi-vie?

Naturellement, le taux de décroissance et une fonction de décroissance exponentielle elle-même sont étroitement liés à la demi-vie. En effet, supposons que la demi-vie $h$ est connue, et $A_0$ est le montant initial (à $t = 0$). Ensuite, la fonction de décroissance exponentielle peut être écrite comme suit:

$$f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}$$