En savoir plus sur ce système de solveur d'équations

Cette calculatrice vous permet de calculer la solution d'un système d'équations linéaires, à condition que le nombre d'équations soit le même que le nombre de variables, et vous pouvez définir un système de jusqu'à cinq variables et cinq équations.

La résolution d'un système d'équations peut être laborieuse et nécessite de nombreux calculs, en particulier pour les grands systèmes.

Comment résoudre un système d'équations

Il existe plusieurs stratégies, mais les plus couramment utilisées sont :

• La méthode graphique
• La méthode de remplacement
• La méthode d'élimination

Ces méthodes sont largement utilisées, en particulier pour le système 2x2 (c'est-à-dire les systèmes à 2 variables et 2 équations). Le problème avec ces méthodes est qu'elles deviennent lourdes pour les grands systèmes.

Et la méthode graphique n'est applicable que pour les systèmes 2x2. Pour les grands systèmes, vous pouvez utiliser des règles plus systématiques comme l'élimination gaussienne et La méthode de Cramer .

Il existe plusieurs méthodes qui peuvent être utilisées pour calculer des solutions à des systèmes d'équations linéaires, mais nous préférons utiliser le La règle de Cramer approche, car c'est l'un des moyens les plus simples de rappeler le calcul des solutions de système.

Comment résoudre un système d'équations avec cette calculatrice

1. Décidez de la taille du système (nombre de variables et nombre d'équations). Les options sont les systèmes 2x2, 3x3, 4x4 et 5x5
2. Une fois la taille précisée, il faut préciser les coefficients associés à chaque variable
3. Si un coefficient n'est pas utilisé, laissez-le vide ou tapez 0
4. Cliquez sur "Calculer" et ce solveur vous montrera toutes les étapes et solutions

La règle de Cramer est étroitement liée à cela calculateur de solutions d'un système d'équations utilisant des matrices , vous pouvez donc également utiliser cette route à la place.

Est-ce un solveur de système de 5 équations

Oui, avec ce solveur, vous pouvez obtenir les solutions de systèmes comportant jusqu'à 5 équations et 5 variables. La méthodologie pour plus de variables et d'équations ne change pas vraiment, mais les calculs manuels deviennent vraiment longs. Donc, pour plus de 5 équations, vous voudrez peut-être le résoudre avec un ordinateur.

Comment résoudre un système d'équations avec ce solveur ?

Étape 1: Vous devez spécifier le système d'équations que vous souhaitez résoudre, en remplissant les blancs avec les coefficients du système. Remarquez que lorsqu'une variable n'est pas dans l'équation, son coefficient doit être mis à zéro.

Étape 2: Cliquez simplement sur "Calculer", et ce solveur fera le reste. Tout d'abord, la calculatrice trouvera la forme matricielle.

Étape 3: Le solveur calculera le déterminant de la matrice A. Si det(A) = 0, nous savons que le système n'aura pas de solution unique.

Étape 4: La calculatrice calculera la matrice adjointe.

Étape 5 : Le solveur utilise la formule de la règle de Cramer pour calculer les solutions correspondantes :

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Alors, comment résoudriez-vous une équation à 6 variables ?

Ce serait exactement la même approche, sauf que le calcul de la matrice adjointe serait potentiellement très laborieux. Vous feriez mieux d'utiliser un CAS comme Mathematica ou Matlab pour obtenir les solutions, en sautant toutes les étapes, ce qui pourrait être trop long.

Pouvez-vous utiliser Excel pour résoudre un système d'équations ?

Techniquement, vous pouvez, en utilisant certaines fonctions de groupe spéciales, telles que "= MMULT", mais généralement, l'utilisateur Excel moyen ne saura généralement pas comment le faire.

L'avantage de ce solveur de système d'équations avec étapes est que tout ce que vous avez à faire est de spécifier le Système d'équations vous voulez résoudre, en utilisant un visuel intuitif à partir de. À partir de là, tout ce que vous avez à faire est de cliquer sur "Calculer" pour obtenir un calcul étape par étape.

Exemple d'un système de solution d'équation

Considérons le système d'équation suivant

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Résolvez le système ci-dessus en utilisant la règle de Cramer, en montrant toutes les étapes.

Solution: Un système \(3 \times 3\) d'équations linéaires a été fourni.

Étape 1 : Trouver la structure matricielle correspondante

La première étape consiste à trouver la matrice \(A\) et le vecteur \(b\) correspondants permettant d'écrire le système sous la forme \(A x = b\).

Dans ce cas, et sur la base des coefficients des équations fournies, nous obtenons que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

et

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Étape 2 : Calculer le déterminant de la matrice

Maintenant, nous devons calculer le déterminant de \(A\) afin de savoir si nous pouvons ou non utiliser la règle de Cramer :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Depuis \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), on conclut que la matrice est inversible, et on peut continuer avec l'utilisation de la règle de Cramer.

Étape 3 : Calcul des solutions

Maintenant, nous devons calculer chacune des solutions \(x_j\), en utilisant la formule :

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

où \(A^j\) correspond exactement à la matrice \(A\) sauf que la colonne j est remplacée par \(b\).

Pour \(x\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Maintenant, nous constatons qu'en utilisant la formule de Cramer, \(x\) est calculé comme

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Pour \(y\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Maintenant, nous constatons qu'en utilisant la formule de Cramer, \(y\) est calculé comme

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Pour \(z\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Maintenant, nous constatons qu'en utilisant la formule de Cramer, \(z\) est calculé comme

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Par conséquent, et en résumé, la solution est

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul des solutions pour le système linéaire donné.