Résolution d'un système d'équations à l'aide de matrices

Résolution de systèmes d'équations linéaires peut être facilement l'une des compétences les plus pratiques que vous apprendrez jamais en algèbre, ou même en mathématiques en général.

La raison en est que d'innombrables applications de la vie réelle qui sont vraiment utiles s'avèrent être résolues à l'aide de systèmes d'équations linéaires.

Il existe de nombreuses méthodologies pour résoudre des systèmes, qui utilisent généralement différentes approches. Une approche courante est l'approche matricielle, qui consiste d'abord à convertir le système d'équations en sa forme matricielle .

Comment résoudre un système d'équations à l'aide de matrices ?

Étape 1: Convertissez les équations linéaires en matrice à partir de laquelle vous identifiez les variables \(A\) (la matrice des coefficients qui multiplient les variables correspondantes) et \(b\) (le vecteur des coefficients du côté droit).

Étape 2: Calculez l'inverse de la matrice \(A\), que nous appelons \(A^{-1}\).

Étape 3: La solution du système s'avère être \(x = A^{-1} b\). Dans l'ordre des mots, vous multipliez l'inverse de \(A\) par \(b\) afin d'obtenir le vecteur avec des solutions.

Notez que cela semble assez simple, mais il y a beaucoup de calculs nécessaires pour trouver l'inverse \(A^{-1}\), en particulier si la taille de la matrice est grande. Pour un 4x4 et plus, cela peut être assez long.

Alors, comment pouvez-vous résoudre des systèmes sur une calculatrice ?

Les détails varient spécifiquement, en fonction de chaque calculatrice. Chaque machine aura son was et son format pour entrer un système. Dans le cas de notre calculateur, vous obtenez un panorama visuel clair des coefficients à renseigner pour spécifier le système. Après cela, la calculatrice vous montrera toutes les étapes pertinentes.

Qu'est-ce que la cohérence d'un système d'équations linéaires

La cohérence signifie que l'équation ne mène pas à quelque chose d'impossible, comme "2 = 3". Typiquement, avant d'essayer de résoudre un système, dans le cas où vous avez le même nombre d'équations et de variables, vous calculez d'abord le déterminant de la matrice.

Si le déterminant est différent de zéro, vous pouvez procéder en toute sécurité au calcul de l'inverse et vous avez la garantie que le système ne présente aucune incohérence.

Que faire si la matrice n'est pas au carré : élimination de gauss

Cette méthode de résolution d'un système en calculant l'inverse de la matrice des coefficients A et en la multipliant par b ne fonctionne que lorsque le nombre de variables est le même que le nombre d'équations. Si ce n'est pas le cas, il serait approprié d'utiliser l'élimination de Gauss.

Exemple

Considérons le système d'équations suivant :

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Résolvez le système ci-dessus à l'aide de matrices.

Solution: Un système \(3 \times 3\) d'équations linéaires a été fourni et nous devons résoudre ce système à l'aide de matrices.

Étape 1 : trouver la structure matricielle correspondante

La première étape consiste à trouver la matrice \(A\) et le vecteur \(b\) correspondants permettant d'écrire le système sous la forme \(A x = b\).

Dans ce cas, et sur la base des coefficients des équations fournies, nous obtenons que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

et

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Étape 2 : calculer le déterminant de la matrice

Maintenant, nous devons calculer le déterminant de \(A\) afin de savoir si oui ou non nous pouvons calculer l'inverse de la matrice \(A\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

Depuis \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\), on conclut que la matrice est inversible, et on peut continuer avec le calcul de l'inverse.

Étape 3 : calcul de l'inverse

Maintenant, nous calculons la matrice des mineurs. Nous avons que, par définition, la matrice des mineurs \(M\) est définie par la formule

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

où dans ce cas \( A^{i,j}\) est la matrice \(A\) après suppression de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\).

Par conséquent, et sur la base de la matrice \(A\) fournie, nous obtenons les coefficients suivants de la matrice des mineurs :

Pour \(A^{ 1, 1}\) :

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 1, 2}\) :

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 1, 3}\) :

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Pour \(A^{ 2, 1}\) :

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Pour \(A^{ 2, 2}\) :

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

Pour \(A^{ 2, 3}\) :

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 3, 1}\) :

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 2}\) :

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Pour \(A^{ 3, 3}\) :

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

En résumé, la matrice des mineurs est :

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Maintenant, nous pouvons calculer les éléments de la matrice de cofacteur \(C\) en utilisant la formule

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formule ci-dessus peut être utilisée directement car les mineurs sont déjà connus. On a

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

Ainsi, la matrice des cofacteurs est :

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Maintenant, il suffit de transposer la matrice cofacteur que nous avons trouvée pour calculer la matrice adjointe. On a:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Enfin, nous devons multiplier chaque composant de la matrice adjointe par \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\), ce qui n'affecte pas l'adjoint. Donc on obtient :

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Étape 4 : calcul des solutions

Maintenant que nous connaissons l'inverse \(A^{-1}\), le vecteur de solutions est calculé comme suit :

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Par conséquent, et en résumant, le vecteur solution est

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul des solutions pour le système linéaire donné.