À propos de ce calculateur de règle de cramer

Résolution de systèmes d'équations linéaires est l'un des objets primordiaux de l'algèbre. En effet, de nombreuses applications différentes conduisent directement à la résolution de tels systèmes.

Il se peut que vous travailliez avec un problème de mots, ou que vous attribuiez des régimes optimaux aux soldats de l'armée, que vous tombiez sur une sorte de système linéaire.

Et La règle de Cramer est l'une des approches les plus courantes pour résoudre de grandes systèmes d'équations linéaires , surtout lorsque le nombre d'équations est le même que le nombre de variables.

Ce n'est pas que la règle de Cramer va simplifier le nombre d'opérations nécessaires pour résoudre un système d'équations, sa renommée est basée sur le fait que c'est une règle facile à mémoriser.

Premièrement : comment la règle de cramer est-elle calculée ?

Étape 1: Pour que la règle de Cramer fonctionne, vous devez commencer avec un système d'équations qui a le même nombre d'équations que le nombre de variables. Si ce n'est pas le cas, arrêtez, vous ne pouvez pas utiliser la règle de Cramer.

Étape 2: Identifiez le système d'équation sous forme matricielle : \(Ax = b\), où \(A\) est une matrice \(n \times n\) qui contient les coefficients qui multiplient les variables et \(A_{ij}\) est le coefficient qui multiplie le j ^e variable dans le i ^e équation, et \(b\) est un vecteur de taille \(n\) qui rassemble tout le côté droit de chacune des équations.

Étape 3: Calculer le déterminant de la matrice \(A\). Si \(\det(A) = 0\), le système a plus d'une solution, et la règle de Cramer ne peut rien faire d'autre.

Étape 4: Vous définissez la matrice associée \(A^{j}\) comme étant la même que la matrice \(A\), sauf que la colonne j de la matrice \(A\) est remplacée par \(b\).

Étape 5 : Si \(\det(A) \ne 0\), il existe une solution unique, et les composantes \(x_j\) , avec \(j = 1, 2, ..., n\) sont calculées comme

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Comment faire la règle de cramer sur une calculatrice ?

Différentes calculatrices effectueront la règle de Cramer pour vous, mais la majorité ne vous montrera pas les étapes. Notre calculateur vous guidera à travers toutes les étapes, avec tous les détails.

Comment résoudre une matrice 4x4 dans la règle de cramer ?

L'une des raisons pour lesquelles la règle de Cramer est si populaire est que sa formulation ne change vraiment pas grand-chose, voire pas du tout, pour différentes tailles de système.

En effet, faire la règle de Cramer pour un système 4x4 n'est pas plus difficile que de le faire pour un système 2x2 (autre que le calcul des déterminants impliqués sera plus laborieux)

En fin de compte, quelle que soit la taille du système, vous calculez les solutions en fonction de

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

ce qui signifie que vous prenez la matrice d'origine et remplacez une colonne de \(A\) par \(b\) et calculez les déterminants et trouvez leur quotient.

Comment faire le calculateur de règles de cramer pour ax=b

La résolution de ax=b dans ce contexte fait référence à la résolution de \(Ax = b\) au niveau de la matrice. Ainsi, l'astuce pour utiliser correctement la règle de Cramer est de convertir correctement un système d'équations donné en une équation matricielle de la forme \(Ax = b\).

Exemple d'utilisation de la règle de cramer

Question: Le système d'équations linéaires \(3 \times 3\) suivant a été fourni :

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Résolvez le système ci-dessus en utilisant la règle de Cramer, en montrant toutes les étapes.

Solution:

Étape 1 : trouver la structure matricielle correspondante

La première étape consiste à trouver la matrice \(A\) et le vecteur \(b\) correspondants permettant d'écrire le système sous la forme \(A x = b\).

Dans ce cas, et sur la base des coefficients des équations fournies, nous obtenons que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

et

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Étape 2 : calculer le déterminant de la matrice

Maintenant, nous devons calculer le déterminant de \(A\) afin de savoir si nous pouvons ou non utiliser la règle de Cramer :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Depuis \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), on conclut que la matrice est inversible, et on peut continuer avec l'utilisation de la règle de Cramer.

Étape 3 : calcul des solutions

Maintenant, nous devons calculer chacune des solutions \(x_j\), en utilisant la formule :

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

où \(A^j\) correspond exactement à la matrice \(A\) sauf que la colonne j est remplacée par \(b\).

Pour \(x\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

Maintenant, nous constatons qu'en utilisant la formule de Cramer, \(x\) est calculé comme

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

Pour \(y\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

Maintenant, nous constatons qu'en utilisant la formule de Cramer, \(y\) est calculé comme

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

Pour \(z\) :

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

Maintenant, nous constatons qu'en utilisant la formule de Cramer, \(z\) est calculé comme

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

Par conséquent, et en résumé, la solution est

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul des solutions pour le système linéaire donné.