El valor absoluto
El valor absoluto de un número corresponde a su magnitud, sin considerar su signo, si lo tiene. Geométricamente, corresponde a la distancia de un punto \(x\) al origen \(0\), en la línea real
Matemáticamente, el valor absoluto de un número \(x\) se representa como \(|x|\).
Debido a la naturaleza geométrica de su interpretación, el valor absoluto se usa ampliamente en álgebra y otras ramas matemáticas, y resulta que es muy fácil calcular el valor absoluto de un número dado: todo lo que tiene que hacer es eliminar el signo, si hay un signo.
EJEMPLO 1
Calcule el valor absoluto de \(-8\).
RESPONDEDOR:
Como mencionamos anteriormente, el valor absoluto de un número es su magnitud, sin tener en cuenta el signo. En este caso, al soltar el signo, nos damos cuenta de que el valor absoluto de \(-8\) es \(8\). Matemáticamente, escribimos \(|-8| = 8\).
EJEMPLO 2
Calcule el valor absoluto de \(4\).
RESPONDEDOR:
Sabemos que el valor absoluto de un número es su magnitud, sin tener en cuenta el signo. En este caso, no hay un signo para soltar, así que obtienes que el valor absoluto de \(4\) sea simplemente \(4\). Entonces, matemáticamente, escribimos \(|4| = 4\).
Definición matemática de valor absoluto
Esta idea de "dejar caer el signo" sería suficiente si todo lo que hacemos es calcular el valor absoluto de los números. Pero en realidad hacemos más cosas, que son un poco más complicadas, como ecuaciones de valor absoluto y desigualdades.
Matemáticamente, la definición formal de \(|x|\) se da a continuación.
\ [| x | = \ left \ {\ begin {array} {cc} x \ text {} & \, \, \, \ text {para} x \ ge 0 \\ \\ -x & \, \, \ text {para} x <0 \\ \ end {matriz} \ right. \]Sin entrar en pánico, analicemos la definición anterior. Simplemente dice: "Marque el número dado \(x\). Si \(x\) es mayor o igual que cero, entonces el valor absoluto del número será el número en sí. De lo contrario, si el número dado \(x\) es negativo, el valor absoluto del número es \(-x\) , que correspondería a multiplicar el número dado originalmente por \(-1\).
Entonces, en el caso de \(-8\), este número de negativo, entonces el valor absoluto se obtiene al multiplicarlo por \(-1\), entonces obtenemos \(|-8|\) = (-1) \ times (-8) = 8. Eso es todo.
Ahora bien, esta definición puede parecer exagerada. Después de todo, ¿por qué no seguir con el método de "soltar la señal"? Hay una razón para eso, y es simplemente porque esta forma de definir el valor absoluto nos ayuda a manejar situaciones más difíciles que involucran valor absoluto.
Por ejemplo, si le pido que resuelva la siguiente desigualdad: \(|x^2-4x+10| \ge 0\), ¿podría simplemente "soltar el signo" para reducirlo? No exactamente. No se preocupe, discutimos las desigualdades que involucran valores absolutos en otro tutorial.
Solo quería señalar por qué nos tomamos el trabajo de hacer una definición formal del valor absoluto, y porque en algún momento lo necesitaremos, cuando manejemos operaciones más complicadas que involucrados valores absolutos.
Propiedades del valor absoluto
Estas son las principales propiedades:
1) \(|0| = 0\)
2) \(|ab| = |a||b|\), para \(a\) y \(b\) números reales
3) \(|a+b| \le |a|+|b|\), para \(a\) y \(b\) números reales
La falacia de la raíz cuadrada de un cuadrado
Finalmente, me gustaría dar crédito al valor absoluto de una referencia faltante. Sí, merece crédito. De hecho, muchas veces vemos en la escuela secundaria o incluso en la universidad una declaración turbia como:
\[\large \sqrt{x^2} = x\]con una declaración que diga que "la raíz cuadrada cancela el cuadrado". No voy a decir que es falso, pero diré que es cierto cuando \(x\) no sea negativo. La verdadera afirmación sería
\[\large \sqrt{x^2} = |x|\]y ahí tienes una de las apariciones estelares del valor absoluto. Con el tiempo te darás cuenta de que aparece con más frecuencia de lo que crees.
Más sobre el valor absoluto
El valor absoluto es un concepto simple y realmente útil, porque tiene una clara interpretación geométrica en la línea real: representa la distancia de cualquier punto al origen.
Aunque es sencillo calcularlo para un número, existen operaciones más complicadas que involucran valores absolutos, como las ecuaciones de valor absoluto y las desigualdades. Esos requieren una estrategia clara para ser resueltos, de lo contrario, puede quedarse perplejo.
¿Cómo encontrar un valor absoluto?
Por lo general, no es tan difícil encontrar el valor absoluto de un número dado: todo lo que tiene que hacer es obtener la magnitud del número, sin considerar el signo. En otras palabras, y para simplificarlo, basta con ver si hay un cartel y soltarlo.
El procedimiento es menos evidente cuando se calcula el valor absoluto de una expresión algebraica, en cuyo caso primero debe reducir la expresión a un número y luego eliminar cualquier signo si lo tiene.
Aplicaciones del valor absoluto
Usar el valor absoluto va más allá de simplemente calcular el valor absoluto de números. El valor absoluto tiene algunas propiedades intrínsecas que lo que significa en una herramienta analítica invaluable.
Por ejemplo, el valor absoluto aparece con frecuencia en muchas situaciones, como por ejemplo para \(\sqrt{x^2} = |x|\), que generalmente se da por sentado, ya que la mayoría de la gente usará \(\sqrt{x^2} = x\), que es incorrecto cuando \(x\) es negativo.
El valor absoluto también aparece en geometría (porque el valor absoluto de una diferencia representa la distancia entre dos puntos), en integración y para cuando necesitamos resolver desigualdades de valor absoluto .
Además, puedes usar esto calculadora de valor absoluto para practicar los conceptos aprendidos en este tutorial. O para cálculos más generales, puede utilizar este calculadora de expresiones algebraicas .