Cómo calcular las puntuaciones Z
Suponga que \(X\) tiene una distribución normal, con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\). Esto generalmente se escribe como
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Entonces el Puntuación Z asociado a \(X\) se define como
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Ejemplo: Considere la variable aleatoria \(X\), que como distribución normal, con media \(\mu = 34 \) y desviación estándar \(\sigma = 4\). Calcule la puntuación z de \(X = 41\).
Responder :
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]¿Qué representa la puntuación z?
La puntuación z da medidas de qué tan lejos está la variable aleatoria \(X\) de su media \(\mu\). Esta medida no es arbitraria, indica cuántas desviaciones estándar el valor de \(X\) está lejos de \(\mu\). En otras palabras, una puntuación z de 1,75 indica que el valor de \(X\) está a 1,75 desviaciones estándar de su media. Dado que la puntuación z es positiva, eso significa que la El valor de \(X\) es 1,75 desviaciones estándar a la derecha de su media, para ser más precisos.
Aplicaciones de las puntuaciones Z
Ejemplo de aplicación: Peter tomó su examen de finanzas la semana pasada y obtuvo 89/100. La media de su clase fue 77, con una desviación estándar de 15. Jenna también tomó su examen de matemáticas la semana pasada y obtuvo 84/100. La media de su clase era 75, con una desviación estándar de 5. Se discutían sobre quién lo hizo mejor, ¿quién crees que lo hizo mejor en relación con su clase?
Responder : Necesitamos usar puntajes z. Para Peter tenemos
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]Por otro lado, para Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]La puntuación z asociada con la prueba de puntuación de Jenna es más alta que la prueba de puntuación z asociada con la prueba de puntuación de Peter, lo que significa que a Jenna le fue mejor que a Peter, en relación con su clase.