Simplificando Radicales
Las expresiones algebraicas que contienen radicales son muy comunes y es importante saber cómo manejarlas correctamente. La primera regla que debemos aprender es que los radicales SIEMPRE se pueden convertir en poderes, y de eso se trata este tutorial.
En este tutorial aprenderemos cómo simplificar radicales.
De hecho, tratamos con radicales todo el tiempo, especialmente con \(\sqrt x\). Una cosa en la que tal vez no nos detengamos a pensar es que los radicales se pueden poner en términos de poderes.
Como lo hago Echale un vistazo. Comencemos con \(\sqrt x\) primero:
\[\large \boxed{\sqrt x = x^{1/2}}\]
Entonces, ¿por qué deberíamos estar entusiasmados con el hecho de que los radicales se pueden poner en términos de poderes?
La respuesta es simple: porque podemos usar las reglas que ya conocemos para los poderes para derivar las reglas para los radicales.
Por ejemplo, deje que \(x, y\ge 0\) sean dos números no negativos. Una regla que se aplica a los radicales es
\[\large \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]¿Como sabemos? Bueno, simplemente usando regla 6 de exponentes y la definición de radical como potencia. Echale un vistazo:
\[\large \sqrt{x\cdot y} = (x \cdot y)^{1/2} = x^{1/2} \cdot y^{1/2} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\]EJEMPLO 1: Simplifique la siguiente expresión radical:
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7}\]RESPONDER:
Basado en la expresión dada, podemos reescribir los elementos dentro del radical para obtener
\[\large \displaystyle \sqrt{27x^5 y^7} = \sqrt{3^3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 \cdot 3 x^4 \cdot x y^6 \cdot y}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{(3^2 x^4 y^6) \cdot (3x y)} \] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2 x^4 y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{3^2}\sqrt{x^4}\sqrt{ y^6} \sqrt{3xy}\] \[\large \displaystyle = 3x^2y^3 \sqrt{3xy}\]Reglas de los radicales
Hay reglas para operar radicales que tienen mucho que ver con las reglas exponenciales (naturalmente, porque acabamos de ver que los radicales se pueden expresar como potencias, entonces se espera que se apliquen reglas similares).
Regla 1: \(\large \displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
Regla 2: \(\large\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Regla 3: \(\large\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt x}{\sqrt y}\)
Lo más probable es que, de una forma u otra, haya trabajado con estas reglas, a veces incluso sin saber que las estaba usando.
Una mención específica se debe a la primera regla. Muchas veces, verá (o incluso su instructor le dirá) que \(\sqrt{x^2} = x\), con el argumento de que "la raíz aniquila el cuadrado". Hasta cierto punto, esa afirmación es correcta, pero no es cierto que \(\sqrt{x^2} = x\). De hecho, podemos dar un contraejemplo: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt(9) = 3\). Entonces, en este caso, \(\sqrt{x^2} = -x\).
En realidad, lo que pasa es que \(\sqrt{x^2} = |x|\). Este es el caso cuando obtenemos \(\sqrt{(-3)^2} = 3\), porque \(|-3| = 3\).
EJEMPLO 2
Simplifique la siguiente expresión radical:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^8 y^{-2}}}\]RESPONDER:
Hay varias cosas que deben hacerse aquí. Primero, vemos que esta es la raíz cuadrada de una fracción, por lo que podemos usar la Regla 3. Luego, hay potencias negativas que se pueden transformar.
Concretamente, podemos llevar el \(y^{-2}\) en el denominador al numerador como \(y^2\). Entonces, podemos simplificar algunos poderes. Entonces obtenemos:
\[\large \displaystyle \sqrt{\frac{8 x^5 y^6}{5 x^2 y^{-2}}} = \sqrt{\frac{8 x^5 y^6 y^{2}}{5 x^8 }}\] \[\large \displaystyle = \sqrt{\frac{2^3 y^{6+2}}{5 x^{8-5} }} = \sqrt{\frac{2^3 y^8}{5 x^3 }} \] \[\large \displaystyle = \frac{\sqrt{2^3 y^8}}{\sqrt{5 x^3 }} = \frac{2y^4 \sqrt{2}}{x\sqrt{5 x }}\]Más sobre la simplificación de radicales
Observe que analizamos y hablamos de reglas para radicales, pero solo consideramos la raíz cuadrada \(\sqrt x\). La pregunta es, ¿se aplican las mismas reglas a otros radicales (que no son la raíz cuadrada)? Respuesta corta: si
Solo para tener una discusión completa sobre los radicales, necesitamos definir los radicales en general, usando la siguiente definición:
\[\large \boxed{\sqrt[n] x = x^{1/n}}\]Con esta definición, tenemos las siguientes reglas:
Regla 1.1: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = x\), cuando \(n\) es impar.
Regla 1.2: \(\large \displaystyle \sqrt[n]{x^n} = |x|\), cuando \(n\) es par.
Regla 2: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}\)
Regla 3: \(\large\displaystyle \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}\)