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Secuencias geométricas

A Secuencia Geométrica es una secuencia de números que tiene la propiedad de que la relación entre dos elementos consecutivos es constante, igual a un determinado valor \(r\). Este valor también se conoce como proporción común.

En un problema de la vida real, se le dará un valor inicial \(a\) y la relación constante \(r\) que se conserva entre valores consecutivos en la secuencia. Tu tarea será calcular la secuencia geométrica utilizando esta información dada.

¿cómo resuelvo una secuencia geométrica?

Supongamos que el primer término es \(a\). Entonces, el siguiente término es \(a r\) y el siguiente es \(ar^2\). Etcétera.

En otras palabras, comenzamos con el primer término \(a\), y el siguiente término siempre se encuentra multiplicando el término anterior por \(r\).

Entonces el primer término es \(a_1 = a\).

El segundo término es \(a_2 = a r\).

El tercer término es \(a_3 = a r^2\).

Fórmula de secuencia geométrica

Al observar el ejemplo anterior, lo que sucede es que el valor inicial \(a\) se multiplica por un \(r\) adicional en cada paso. Por lo tanto, el n general ^el término es

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

Esto significa que después de avanzar los pasos \(n\), obtenemos que el número correspondiente en la secuencia es \( a_n = a r^{n-1}\). Esta es la fórmula para el patrón de serie geométrica, y todo lo que necesitas es ingresar los valores de \(a\) y \(n\) en la fórmula.

Entonces, ¿cómo se encuentra el enésimo término de una secuencia geométrica?

En resumen, para encontrar el enésimo término en una secuencia geométrica, necesitas dos datos para definir una secuencia geométrica: necesitas el término inicial \(a\) y la razón constante \(r\).

Luego, los términos consecutivos de la secuencia geométrica se obtienen multiplicando el término anterior por \(r\). Por ejemplo, 3, 6, 12, 24,... es una secuencia geométrica ya que el valor inicial es \(a = 3\) y luego cada valor posterior se obtiene multiplicando el valor anterior por \(r = 2\).

Además, por ejemplo, puedes preguntarte cuál es la regla para 1 2 4 8 16 y si es una secuencia geométrica. Bueno, tenemos que el valor inicial es \(a = 1\), y cada valor siguiente se obtiene multiplicando el valor anterior por \(r = 2\).

EJEMPLO 1: Ejemplo de una secuencia geométrica

Encuentra el sexto término de una secuencia geométrica con el término inicial \(10\) y \(r = 1/2\).

Respuesta:

Entonces, ¿cómo calcular una secuencia geométrica ? Con base en la información proporcionada, tenemos suficiente información para definir la secuencia geométrica. De hecho, tenemos el primer término \(a = 10\) y tenemos la razón constante \(r = 1/2\).

el general sustantivo, masculino— ^el término es

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

entonces el 6 ^el término es

\[\large \displaystyle a_{10} = a r^{6-1} = 10 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[\large = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

¿puede la proporción común ser negativa?

Si, absolutamente. La relación constante \(r\) puede ser negativa. Por ejemplo, podemos tener una secuencia geométrica con término inicial \(a_1 = 1\) y razón constante \(r = -2\). Entonces, el segundo término es \(a_2 = 1 \cdot (-2) = -2\), \(a_3 = (-2) \cdot (-2) = 4\), y así sucesivamente.

Entonces, es exactamente la misma regla: para obtener el siguiente término, multiplicamos el término anterior por la razón constante \(r\), incluso si la razón constante es negativa.

Ejemplo 2

Encuentre el quinto término de una secuencia geométrica con el término inicial \(3\) y \(r = -2\).

Respuesta:

Tenemos suficiente información para definir la secuencia geométrica, porque tenemos el primer término \(a_1 = 3\) y tenemos la razón constante \(r = -2\).

el general sustantivo, masculino— ^el término (con relación constante negativa) es

\[\large a_n = a r^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}\]

entonces el 5 ^el término es

\[\large \displaystyle a_{5} = a r^{5-1} = 3 \cdot (-2)^{5-1} = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48\]

Puedes usar nuestro calculadora de fórmula de secuencia geométrica para verificar lo que encontró arriba, que es una calculadora de fórmula explícita.

Ejemplo 3

Considere la secuencia 1, 1/2, 1/4, 1/16,... ¿Es esta secuencia geométrica?

Respuesta:

Para que una secuencia dada sea geométrica, los términos deben tener una razón común. En este caso, dividiendo el segundo término por el primer término obtenemos \((1/2)/1 = 1/2\).

Entonces, si dividimos el tercero por el segundo término: \((1/4)/(1/2) = 1/2\). Hasta ahora, todo bien.

Ahora, si dividimos el cuarto por el tercer término: \((1/16)/(1/4) = 1/4\). Falla. No es una serie geométrica, porque no tiene una razón común (la razón es 1/2 para los dos primeros términos, pero luego es 1/4, por lo que no es constante).

Por tanto, la secuencia NO es una secuencia geométrica.

Más sobre las secuencias geométricas

El remate que debes tener en cuenta. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia geométrica? Simple

\[\large a_n = a r^{n-1}\]

donde \(a\) es el término inicial y \(r\) es la razón constante (o razón común, como también se le llama).

Hay un par de calculadoras que quizás quieras usar y que están relacionadas con el concepto de secuencia geométrica, o progresión geométrica , como también se le llama.

• Primero puedes consultar nuestra calculadora de suma de series geométricas infinitas , que suma infinitos términos de una secuencia geométrica. Esta suma estará bien definida (convegerá) si la relación constante es tal que \(|r| < 1\).

• Además, querrás utilizar nuestro calculadora de suma de secuencias geométricas , que calcula la suma de términos en una secuencia geométrica, HASTA un cierto valor finito. Esta suma está bien definida sin condiciones sobre la razón constante \(r\), siempre que sumamos un término finito de la secuencia.