Más sobre la serie geométrica infinita

La idea de un infinito La serie puede ser desconcertante al principio. No tiene por qué ser complicado cuando entendemos lo que entendemos por serie.

Una serie infinita no es más que una suma infinita. En otras palabras, tenemos un conjunto infinito de números, digamos \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\), y sumaremos estos términos, como:

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

Pero como puede ser tedioso tener que escribir la expresión anterior para dejar en claro que estamos sumando un número infinito de términos, usamos la notación, como siempre en matemáticas. Una serie infinita se escribe como:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

que es una forma más compacta e inequívoca de expresar lo que queremos decir. Sin embargo, la idea de suma infinita es algo confusa. ¿Qué entendemos por suma infinita?

Esa es una buena pregunta: la idea de sumar un número infinito de términos consiste en sumar un término determinado \(N\) y luego empujar este valor \(N\) hasta el infinito. Así que precisamente, una serie infinita se define como

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

Entonces, de hecho, lo anterior es la definición formal de la suma de una serie infinita.

¿Qué tiene de especial una serie geométrica?

En general, para especificar una serie infinita, debe especificar un número infinito de términos. En el caso de la serie geométrica, solo necesita especificar el primer término \(a\) y la relación constante \(r\).

El n-ésimo término general de la secuencia geométrica es \(a_n = a r^{n-1}\), entonces la serie geométrica se convierte en

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

Un resultado importante es que la serie anterior converge si y solo si \(|r| < 1\). En ese caso, la fórmula de la serie geométrica para la suma es

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

Ejemplos

Como ejemplo, podemos calcular la suma de la serie geométrica \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\). En este caso, el primer término es \(a = 1\) y la razón constante es \(r = \frac{1}{2}\). Entonces, la suma se calcula directamente como:

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

Lo que pasa con la serie es \(|r| > 1\)

Respuesta corta: la serie diverge. Los términos se vuelven demasiado grandes, como con el crecimiento geométrico, si \(|r| > 1\) los términos de la secuencia se volverán extremadamente grandes y convergerán hasta el infinito.

¿Y si la suma no es infinita?

En ese caso, debe utilizar este calculadora de suma de secuencia geométrica , en el que sumas un número finito de términos.