Fórmula de desintegración exponencial
La fórmula de la desintegración exponencial es muy útil y aparece en MUCHAS aplicaciones en la práctica, incluido el modelado de la desintegración radiactiva.
Nuestro principal objetivo en este tutorial es aprender sobre la fórmula de decaimiento exponencial, cuándo aplicarla y cómo lidiar con sus parámetros.
Hablando algebraicamente, un Decrecimiento exponencial expresión es cualquier expresión de la forma
\[\large f(x) = A e^{-kx}\]donde \(k\) es un número real tal que \(k > 0\), y también \(A\) es un número real tal que \(A > 0\).
Normalmente, el parámetro \(A\) se llama valor inicial , y el parámetro \(k\) se llama constante de decaimiento o tasa de descomposición .
Por ejemplo
\[\large f(x) = e^{-x} \]y
\[\large g(x) = e^{-2x} \]ambos corresponden a funciones con decaimiento exponencial.
¿Cómo se ven GRÁFICAMENTE esas funciones con decaimiento exponencial? Compruébalo a continuación:
Una cosa que podemos observar es que ambas funciones DEMUYEN MUY rápido.
¿Qué entendemos por DECAY ??? Se descomponen, en el sentido de que se acercan rápidamente a cero a medida que \(x\) se hace cada vez más grande (\(x \to +\infty\)).
De hecho, ambas funciones después de decir \(x > 4\) son muy pequeñas (el gráfico casi toca el eje y).
Además, si prestamos atención, nos damos cuenta de que \(e^{-2x}\) decae MÁS RÁPIDO que \(e^{-x}\).
PREGUNTA :
¿Tiene la siguiente función:
\[\large f(x) = 2^{-x}\]tienen decaimiento exponencial ???
La respuesta es sí.
Aunque inicialmente podrías pensar: "Bueno, eso no es un decaimiento exponencial, porque no veo el '\(e\)' en ningún lado ...". Entonces, eso es muy observador.
PERO, no olvides que podemos escribir
\[\large 2 = e^{\ln 2}\]entonces entonces la función
\[\large f(x) = 2^{-x}\]se puede reescribir como
\[\large f(x) = 2^{-x} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-x} = e^{-(\ln 2) x}\]El cálculo anterior prueba (tos, tos, lo siento, sé que no te gusta esa palabra) que \(2^{-x}\) es una función con decaimiento exponencial con decaimiento constante \(k = \ln 2\).
EJEMPLO 1:
Encuentre el valor inicial y la tasa de decaimiento para la siguiente función:
\[\large f(x) = 3 e^{-4x}\]RESPONDER:
Basado en la función dada, obtenemos directamente que el valor inicial en este caso es \(A = 3\) y la tasa de decaimiento es \(k = -4\).
EJEMPLO 2:
Determina si la expresión a continuación tiene una disminución exponencial y, de ser así, encuentra su valor inicial y la tasa de disminución:
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]RESPONDER:
Note que no vemos el '\(e\) directamente en la expresión, PERO, no olvide que podemos escribir
\[\large 3 = e^{\ln 3}\]entonces entonces la función
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x}\]se puede reescribir como
\[\large g(x) = \displaystyle \frac{1}{2} 3^{-2x} = \frac{1}{2} \left(e^{\ln 3}\right)^{-2x} = \frac{1}{2} e^{-2(\ln 3) x}\]Por lo tanto, esta es una función con decaimiento exponencial, y sus parámetros son: Valor inicial \(A =\frac{1}{2}\) y decaimiento exponencial \(k = 2(\ln 3)\).
Aplicaciones: Cómo encontrar los parámetros de una fórmula exponencial
Muchas veces no solo se nos dan los parámetros de disminución exponencial. Si. A veces, esos parámetros deben calcularse a partir de cierta información proporcionada, y luego debe preocuparse por cómo resolver la caída exponencial
Esa información generalmente se proporciona en uno de los dos tipos siguientes:
Tipo 1:
Sabemos que hay un decaimiento exponencial Y se nos da el valor inicial y el
media vida
Tipo 2:
Sabemos que hay una caída exponencial Y se nos da el valor de la función en dos momentos diferentes.
Notas sobre la vida media
El medio tiempo corresponde al tiempo que tarda una función con decaimiento exponencial en llevar su valor a la mitad de su valor original.
Entonces, suponga que \(h\) es la vida media de \(f(x) = A e^{-kx}\) y se conoce \(A\). ¿Cómo calculamos la tasa de decaimiento \(k\)? Observe que cuando \(x = h\) tendremos exactamente la MITAD de lo que teníamos inicialmente:
\[A/2 = f(h) = A e^{-k h}\]y resolver esto conduce a
\[A/2 = A e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= e^{-k h}\] \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2}\right)= \ln\left(e^{-k h}\right)\] \[\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -k h\] \[\Rightarrow \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2\]Cuando trabaje en un problema real, puede usar la fórmula directamente o simplemente hacer la derivación que hicimos configurando la información sobre la vida media.
EJEMPLO 3:
Suponga que una función tiene un valor inicial de \(A = 3\) y su vida media es \(h = 3\). Además, suponga que la función tiene una disminución exponencial. Encuentra la tasa de caída exponencial.
RESPONDER:
Entonces, este es el primer caso del tipo de información que se nos puede dar. Necesitamos encontrar el valor inicial \(A\) y la tasa de decaimiento \(k\) para poder determinar completamente la fórmula de decaimiento exponencial.
En este caso, ya se nos ha dado que \(A = 3\), por lo que todo lo que nos queda es calcular la constante de decaimiento \(k\). Como conocemos la vida media, podemos calcular la tasa de decaimiento directamente usando la fórmula:
\[ \displaystyle k = \frac{1}{h} \ln 2 = \frac{1}{3} \ln 2 \approx 0.231049 \]Por tanto, la fórmula de desintegración exponencial es
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 3 e^{-\frac{1}{3} \ln 2 x} \approx 3 e^{-0.231049 x} \]EJEMPLO 4:
Supongamos que una función tiene un valor inicial de \(A = 5\), y cuando \(x = 4\) tenemos ese \(f(4) = 2\). Además, suponga que la función tiene una disminución exponencial. Encuentra la fórmula de decaimiento exponencial.
RESPONDER:
Entonces, este es el primer caso del tipo de información que se nos puede dar. Necesitamos encontrar el valor inicial \(A\) y la tasa de decaimiento \(k\) para poder determinar completamente la fórmula de decaimiento exponencial.
En este caso, se nos da que \(A = 5\), y luego todo lo que tenemos que calcular es la constante de desintegración \(k\). Dado que conocemos el valor de la función cuando \(x = 4\):
\[ 2 = f(4) = 5 e^{-k \cdot 4}\] \[\Rightarrow 2 = 5 e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \frac{2}{5} = e^{-4k}\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(e^{-4k}\right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \ln 2 - \ln 5 = -4k\] \[\displaystyle \Rightarrow k = -\left(\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4}\right) \approx 0.229073 \]Entonces, ahora que hemos calculado el factor de desintegración, obtenemos que la fórmula de desintegración exponencial es
\[f(x) = \displaystyle A e^{-k x} = 5 e^{-\frac{\ln 2 - \ln 5 }{4} } \approx 3 e^{-0.229073 x} \]Se obtiene lo siguiente si graficamos esta función:
Más sobre la descomposición exponencial
El decaimiento exponencial es un modelo en el que la función exponencial juega un papel clave y es un modelo muy útil que se adapta a muchas teorías de aplicaciones de la vida real. La aplicación más famosa de la desintegración exponencial tiene que ver con el comportamiento de los materiales radiactivos.
De hecho, el material radiactivo sigue una ecuación de desintegración exponencial, y cada material tiene (dependiendo de su propia volatilidad) su tiempo medio, que es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad de material radiactivo en reducirse a la mitad.
Por lo general, la fórmula para la desintegración radiactiva se escribe como
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-kt} \]oa veces se expresa en términos de la vida media \(h\) como
\[A(t) =\displaystyle A_0 e^{-\left(\frac{1}{h} \ln 2 \right)t}\]¿Qué significa decaimiento exponencial?
Matemáticamente, una función tiene una disminución exponencial si se puede escribir en la forma \(f(x) = A e^{-kx}\). Para muchos de ustedes, esto no diría demasiado.
Ok, eso está bien, entonces podemos describir la caída exponencial. Tener un decaimiento exponencial, puede pensar, significa "decaer REALMENTE rápido". Mientras que la función con decaimiento exponencial decae muy rápido, no todas las funciones que decaen muy rápido tienen decaimiento exponencial.
Por ejemplo, considere \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). Si grafica esta función, verá que decae muy rápido, pero en realidad no tiene decadencia exponencial.
Si tuviera que describir el decaimiento exponencial, más allá de los términos algebraicos de su definición, deberá decir que una función tiene un decaimiento exponencial si decae muy rápido, pero TAMBIÉN tiene una propiedad crucial:
Independientemente del valor de la función en un cierto punto \(x\), existe un valor \(h\) de modo que el valor del valor de la función en el punto \(x+h\) es la mitad del valor de la función en \(x\).
En otras palabras, hay un valor constante \(h\) (sí, adivinó, la vida media) que tiene la propiedad de que la función reduce su valor a la mitad después de \(h\) unidades.
La función \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), aunque decae rápidamente, no tiene la propiedad anterior (vida media).