Tiempo para duplicar su calculadora de dinero
Instrucciones: Use esta calculadora para que se muestre paso a paso el cálculo del tiempo requerido para duplicar cierta cantidad inicial de dinero \(A_0\). Proporcione tasa de interés anual \(r\) y el tipo de composición (anual, semi-anualmente, trimestral, mensual, diario o continuamente):
Tiempo para doblar la calculadora de dinero
Esta calculadora mostrará todos los pasos involucrados en la computación de la cantidad de tiempo necesario para duplicar una cantidad inicial \(A_0\)) de dinero.La sabiduría común indica que cuanto mayor sea la tasa de interés \(r\) que obtiene, más corta que tomará duplicar su dinero y eso es de hecho el caso.
También dependerá de si la composición se produce con mayor frecuencia que una vez al año. De hecho, permita que \(k\) sea el número de veces que el dinero se ve agravado en un año.
Por ejemplo, para la composición anual tenemos \(k = 1\), para una composicion bi-anual tenemos \(k = 2\), para composiciones trimestrales tenemos \(k = 4\), etc.
Tiempo a doble compuesto discretamente
Cuando hace una cierta cantidad de composiciones \(k\) veces al año, tiene lo que se llama una composición discreta . Para tal tipo de composición, la cantidad de dinero que tendremos después de \(n\) años es
\[ FV = A_0 \left( 1+\frac{r}{k}\right)^{ k \times n} \]Entonces, si queríamos duplicar nuestra cantidad inicial \(A_0\), tendríamos que terminar con \(2 A_0\) en la cuenta, de modo que
\[ 2 A_0 = A_0 \left( 1+\frac{r}{k}\right)^{ k \times n} \]y al cancelar \(A_0\) de ambos lados de la ecuación conduce a
\[ 2 = \left( 1+\frac{r}{k}\right)^{ k \times n} \]y luego aplicar el logarihtmo natural y encontrando \(n\) en la ecuacion conduce a
\[ n = \frac{\ln 2}{k \left( 1+\frac{r}{k}\right)} \]Tiempo para doblar componiendo continuamente
Algo interesante sucede para la composición continua. De hecho, ese caso es lo mismo que tener \(k \to \infty\), en cuyo caso la cantidad de dinero que tenemos después de \(n\) años es.
\[ FV = A_0 e^{r \times n} \]Entonces, lo mismo que en el caso de composición discreta, si quisiéramos duplicar nuestra cantidad inicial \(A_0\), tendríamos que terminar con \(2 A_0\) en la cuenta, de modo que
\[ 2 A_0 = A_0 e^{r \times n} \]y cancelando nuevamente \(A_0\) de ambos lados de la ecuación, obtendremos
\[ 2 = e^{r \times n} \]y luego aplicar el logaritmo natural y la resolviendo para \(n\) en la ecuacion, llegamos a
\[ n = \frac{\ln 2}{r)} \]Observe el hecho muy interesante de que la cantidad de años necesarios para duplicar su cantidad inicial \(A_0\) no depende de la cantidad inicial, solo en la tasa de interés \(r\) y el tipo de composición.
En otras palabras, duplicar $1 o doblar $1 millón tomará la misma cantidad de tiempo, asumiendo la misma tasa de interés.
