Orden de operaciones
El Orden de operaciones es un conjunto de convenciones para realizar operaciones para una expresión algebraica (como \(2+3\times 4\)) cuando podría haber una ambigüedad sobre cómo realizar la operación, porque hay más de una operación.
El Orden de operaciones determina el orden de precedencia de las operaciones al evaluar una expresión algebraica, que convencionalmente sigue el criterio PEMDAS.
En el ejemplo de la expresión algebraica \(2+3\times 4\), hay una suma (\(+\)) y también una multiplicación (\(\times\)). Cual hago primero? Recuerde, las operaciones se realizan entre dos operandos a la vez. Si tengo más de dos operandos, primero tengo que operar dos de ellos, y así sucesivamente. Pero, ¿cuál primero?
Técnicamente, deberíamos emplear paréntesis en todas partes para especificar qué pares se operan primero y cómo se llevan a cabo sucesivamente. Por ejemplo, en la expresión \( 2 + 3\times 4\), podríamos escribirla \( (2 + 3)\times 4\), o como \( 2 + (3\times 4)\).
Entonces, ¿por qué tenemos que pensar en una convención para la precedencia de las operaciones cuando puede ir perfectamente con el uso de paréntesis para evitar cualquier ambigüedad? La respuesta es la sencillez.
Por ejemplo, ¿qué pasaría con algo como \( 2 + 3 \times 4 - 3/2\)?
Si nos vemos obligados a especificar paréntesis para especificar TODAS las operaciones, tendríamos que escribir \( (2 + 3) \times (4 - 3/2)\), o \( (2 + (3 \times 4)) - (3/2)\), o \( 2 + ((3 \times 4) - (3/2))\), y así sucesivamente. Se vuelve pesado.
Entonces estás adivinando bien. A medida que obtenga más operandos en una expresión más compleja, la necesidad de especificar claramente entre paréntesis todas las operaciones a realizar haría que escribir una expresión fuera muy laborioso.
En términos generales, hacer una convención para la precedencia de operaciones nos ahorrará mucho esfuerzo para escribir expresiones inequívocas.
La convención PEMDAS
El PEMDAS es un acrónimo mnemónico que le ayuda a recordar el orden de precedencia de las operaciones que se utiliza como convención estándar.
P = paréntesis primero
E = exponentes siguientes
MD = Multiplicaciones y divisiones siguientes
AS = Sumas y Restas al final
Usando esta convención para el orden de las operaciones, ahorramos mucho tiempo al no necesitar escribir paréntesis superfluos, y solo los necesitaríamos para anular la forma predeterminada en que PEMDAS hace el orden de cálculo, si es necesario.
.EJEMPLO 1
Evalúe \(3+(3\times 12)\). ¿Podrías haber escrito esta expresión de una forma más sencilla?
.RESPONDER:
Según PEMDAS, primero realizamos las operaciones entre paréntesis:
\[3+(3\times 12) = 3 + 36 = 39\]Esta expresión podría haberse escrito de una forma más sencilla, como \(3+3\times 12\), sin el paréntesis, porque en ese caso, según PEMDAS, calcularías la multiplicación antes de la suma.
EJEMPLO 2
Calcule \((18\div 6\times 5) - 14 \div 7 \).
RESPONDEDOR:
Usando la convención de PEMDAS, primero hacemos los paréntesis, y luego las multiplicaciones son divisiones, y solo al final hago la resta. Obtenemos:
\[(18\div 6\times 5) - 14 \div 7 \] \[= (3 \times 5) - 14 \div 7 \] \[= 15 - 14 \div 7 \] \[= 15 - 2 \] \[= 15 - 13 \]Lo estamos haciendo a lo largo, mostrando cada pequeño paso. Está bien si lo haces más rápido, sin conseguir tantos detalles, aunque con PEMDAS es mejor ir lento para no cometer ningún error.
Más sobre el orden de las operaciones
Tener una regla estándar para el orden de precedencia de las operaciones nos facilita mucho la vida cuando se trata de escribir una expresión algebraica.
Debe tener cuidado de usar los paréntesis necesarios para expresar la operación que desea de manera correcta, porque de lo contrario, cualquier calculadora que use tendrá PEMDAS en su lugar.
Para el ejemplo \(2+3\times 4\), si lo que quieres es multiplicar primero \(3\) y \(4\), la expresión no necesita paréntesis, porque así es como PEMDAS indica hacerlo.
Pero si lo que quieres es sumar primero \(2\) y \(3\), entonces necesitas poner un paréntesis como \((2+3)\times 4\), para que con PEMDAS primero hagas las operaciones dentro del paréntesis.
Entonces, ¿qué operación se debe realizar primero?
Si prestaste atención a esta lección, habrías escuchado que el orden de las operaciones que se deben hacer primero está determinado por PEMDAS: P (paréntesis), E (exponentes), MD (multiplicaciones y divisiones) y AS (suma y resta.).
Entonces, ¿por qué se define el orden de las operaciones en ese orden?
PEMDAS es solo una convención. Pero es una convención que se acepta y es una convención que tiene sentido de acuerdo con otras leyes aritméticas. Entonces PEMDAS es el estándar que se usa, aunque es una convención arbitraria.
Por cierto, una forma divertida de recordar la convención de PEMDAS es memorizando la siguiente frase muy pegadiza "por favor, disculpe, mi querida tía sally ".
¿Es el MDAS lo mismo que el PEMDAS?
Básicamente sí. MDAS significa Multiplicación - División - Suma - Resta, en el sentido de que es el orden de precedencia de las operaciones en ausencia de paréntesis. Se toma implícitamente que los paréntesis se operan primero.
¿Hay alguna diferencia en el orden de las operaciones con corchetes?
No, no lo hace. El paréntesis de corchetes cumple exactamente el mismo papel que el paréntesis regular. Si se usa a veces para romper el patrón de demasiados paréntesis anidados, solo para facilitar la lectura.
Por ejemplo, puede tener algo como \((((3+4)\times 4) - 3) \div 1 \). Los tres paréntesis anidados en el lado izquierdo podrían ser difíciles de leer, por lo que parecería más fácil de leer si escribimos \(([(3+4)\times 4] - 3) \div 1 \). Por lo tanto, los paréntesis regulares y entre paréntesis son iguales, pero es una buena práctica alternarlos en caso de paréntesis anidados.
Mira nuestro calculadora de expresiones algebraicas , que usa PEMDAS para operar cualquier expresión que desee. Asegúrese de utilizar PEMDAS o, en caso de duda sobre la precedencia correcta de las operaciones, utilice paréntesis.