Die Standardnormalverteilung

Die Standardnormalverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen, da Sie damit die Wahrscheinlichkeiten berechnen können, die mit JEDER Normalverteilung verbunden sind.

Das ist richtig: Wenn Sie wissen, wie man Standardnormalverteilungswahrscheinlichkeiten berechnet, können Sie die Wahrscheinlichkeiten jeder Normalverteilung berechnen. Warum ist das so?? Aufgrund der Normalisierung der Punktzahlen können Sie Ereignisse haben, die gleichwertig sind.

Was ist eine Standardnormalverteilung?

Nun, das ist die offensichtliche erste Frage, die wir beantworten müssen: Was ist die Standardnormalverteilung? Die Antwort ist einfach: Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung, wenn der Populationsmittelwert \(\mu\) 0 und die Populationsstandardabweichung \(\sigma\) 1 ist.

Die Standardnormalverteilungswahrscheinlichkeiten spielen eine entscheidende Rolle bei der Berechnung aller Normalverteilungswahrscheinlichkeiten.

Betrachten Sie in der Tat eine Normalverteilungsvariable \(X\) mit der Population \(\mu\) und der Standardabweichung \(\sigma\). Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \( a \le X\le b\) berechnen möchten, machen wir die entscheidende Beobachtung, dass die Ereignisse

\[ a \le X\le b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le \frac{b - \mu}{\sigma}\] \[ \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}\]

sind gleichwertig. Mit anderen Worten: Rechnen

\[ \Pr( a \le X\le b ) \]

ist das gleiche wie Computing

\[ \displaystyle \Pr\left(\frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma} \right)\]

Die Werte \(\displaystyle \frac{a - \mu}{\sigma}\) und \(\displaystyle \frac{b - \mu}{\sigma}\) sind die entsprechenden Z-Scores der Rohwerte \(a\) und \(b\) und sind der Schlüssel, um von einer bestimmten Normalverteilung zu einer Standardnormalverteilung zu gelangen.

Wie berechnen wir den Z-Score?

Wie im vorherigen Beispiel zu sehen war, wird für eine Normalverteilungsvariable \(X\) mit der Population \(\mu\) und der Standardabweichung \(\sigma\) der Z-Score eines gegebenen Rohscores \(x\) wie folgt berechnet:

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Beispiele

Angenommen, Sie möchten wissen, wie Sie in Bezug auf das Gewicht für Ihre gesamte Bevölkerung stehen. Wie würden Sie den Z-Wert des Gewichts finden? Nun, Sie müssen Ihr Gewicht haben, sagen wir \(x = 170\) Pfund, und davon ausgehen, dass der Bevölkerungsdurchschnitt für Ihre Bevölkerung \(\mu = 175\) Pfund beträgt, mit einer Populationsstandardabweichung von \(\sigma = 11\) Pfund.

Dann wäre der Ihrem Gewicht zugeordnete Z-Score

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 175}{11} = 0.455 \]

Andere normale Taschenrechner

Mit anderen Taschenrechnern können Sie allgemein berechnen normale Bedeutungen oder Normale Zuständigkeiten für Stichprobenverteilungen , die letztendlich von der Berechnung der Z-Scores und der Verwendung der Standardnormalverteilung abhängen.