Una secuencia \(a_n\) corresponde a una matriz o lista infinita de números de la forma

donde \(a_1, a_2, a_3, ...\) son números reales. Por ejemplo, la secuencia

está representado por la lista

porque esos son los valores que toma la expresión \(a_n = \frac{1}{n}\) cuando \(n\) toma los valores 1, 2, 3, ... etc.

Convergencia de secuencias

Un concepto que suele ser difícil de comprender es la convergencia de una secuencia. Sin embargo, la idea es muy trivial: una secuencia \(a_m\) converge a un valor \(a\) si los valores de la secuencia se acercan cada vez más a \(a\) (de hecho, se acercan tanto como queremos) a medida que \(n\) se acerca al infinito.

Por ejemplo: La secuencia \(a_n = 1/n\) es tal que

porque el valor de \(1/n\) se vuelve "tan cercano a cero como queramos" cuando \(n\) se acerca al infinito.

Definición formal de convergencia:

La secuencia \(a_n \to a\) como \(n \to \infty\), o de lo contrario dice \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) si

• Para todos \(\varepsilon >0\), existen \(n_0\) tales que \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)

Esto significa que no importa qué tan cerca desee la secuencia de \(a\), siempre hay un punto en la secuencia tal que todos los puntos más allá de ese, están lo suficientemente cerca de \(a\). En otras palabras la convergencia de una secuencia no indica que algún número de la secuencia se acerque lo suficiente al límite \(a\), sino que indica que si nos adentramos lo suficiente en la secuencia, todos los valores de if estarán lo suficientemente cerca.

Álgebra de límites

Operar con límites no es tan complicado una vez que los conocemos. De hecho, existen reglas simples que permiten calcular límites más complicados basados ​​en otros más simples. Estas reglas se muestran a continuación:

Si \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) y \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) entonces tenemos:

(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)

(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)

(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)

(donde la propiedad (3) se mantiene mientras \(b \ne 0 \).)

Ejemplo: El límite

se calcula multiplicando primero el numerador y el denominador por \(\frac{1}{n^2}\), lo que significa

porque \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).