Was ist die Grenze einer Sequenz?
Eine Sequenz \(a_n\) entspricht einem unendlichen Array oder einer Liste der Nummern des Formulars
\[a_1, a_2, a_3, ....\]Dabei sind \(a_1, a_2, a_3, ...\) reelle Zahlen. Zum Beispiel die Reihenfolge
\[a_n = \frac{1}{n}\]wird durch die Liste dargestellt
\[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ....\]da dies die Werte sind, die der Ausdruck \(a_n = \frac{1}{n}\) annimmt, wenn \(n\) die Werte 1, 2, 3 usw. annimmt.
Konvergenz von Sequenzen
Ein Konzept, das normalerweise schwer zu verstehen ist, ist die Konvergenz einer Sequenz. Die Idee ist jedoch sehr trivial: Eine Sequenz \(a_m\) konvergiert gegen einen Wert \(a\), wenn die Werte der Sequenz immer näher an \(a\) heranrücken (tatsächlich kommen sie so nahe, wie wir wollen), während sich \(n\) der Unendlichkeit nähert.
Beispielsweise: Die Sequenz \(a_n = 1/n\) ist so, dass
\[a_n = \frac{1}{n} \to 0\]weil der Wert von \(1/n\) "so nahe an Null kommt, wie wir wollen", wenn sich \(n\) der Unendlichkeit nähert.
Formale Definition von Konvergenz:
Die Sequenz \(a_n \to a\) als \(n \to \infty\) oder anderweitig \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) wenn
• Für alle \(\varepsilon >0\) gibt es \(n_0\), so dass \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)
Dies bedeutet, dass unabhängig davon, wie nah die Sequenz von \(a\) sein soll, immer ein Punkt in der Sequenz vorhanden ist, sodass alle darüber liegenden Punkte nahe genug an \(a\) liegen. Mit anderen Worten Die Konvergenz einer Sequenz besagt nicht, dass ein Teil der Sequenz nahe genug an die Grenze \(a\) kommt, sondern zeigt an, dass alle Werte von if nahe genug sind, wenn wir weit genug in die Sequenz einsteigen.
Algebra der Grenzen
Das Arbeiten mit Grenzen ist nicht so kompliziert, wenn wir einige kennen. Tatsächlich gibt es einfache Regeln, die es ermöglichen, kompliziertere Grenzwerte basierend auf einfacheren zu berechnen. Diese Regeln sind unten aufgeführt:
Wenn \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) und \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\), dann haben wir:
(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)
(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)
(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)
(wobei Eigenschaft (3) so lange gilt wie \(b \ne 0 \).)
Beispiel: Das Limit
\[\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1}\]wird berechnet, indem zuerst sowohl Zähler als auch Nenner mit \(\frac{1}{n^2}\) multipliziert werden, was bedeutet
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}= \frac{1}{1} = 1\]weil \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\).